作业帮如图,已知三角形ABC的面积为S,已知向量AB*向量BC=2(1)若S属于（1,根号3）,求向量AB与向量BC的夹角a的取值范围；（2）若S=3/4|向量AB|,求|向量AC|的最小值.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 01:40:06
如图,已知三角形ABC的面积为S,已知向量AB*向量BC=2(1)若S属于（1,根号3）,求向量AB与向量BC的夹角a的取值范围；（2）若S=3/4|向量AB|,求|向量AC|的最小值.
如图,已知三角形ABC的面积为S,已知向量AB*向量BC=2
(1)若S属于（1,根号3）,求向量AB与向量BC的夹角a的取值范围；
（2）若S=3/4|向量AB|,求|向量AC|的最小值.
如图,已知三角形ABC的面积为S,已知向量AB*向量BC=2(1)若S属于（1,根号3）,求向量AB与向量BC的夹角a的取值范围；（2）若S=3/4|向量AB|,求|向量AC|的最小值.
【解】(1) 向量AB*向量BC=2,则|AB|*|BC|cos(180°-B)=2,
即|AB|*|BC|cosB=-2,
又因面积S=(1/2)|AB|*|BC|sinB,即|AB|*|BC|sinB=2S,
两式相除得：sinB /cosB=-S,即 tan B=-S,
S属于（1,根号3）,所以tan B属于（-根号3,-1）,
B属于(120°,135°).
向量AB与向量BC的夹角a=180°-B属于(45°,60°).
（2）s=(1/2)|AB|*|BC|sinB=（3/4）|AB|,
∴|BC|sinB=3/2,
∴2=AB*BC=-|AB|*|BC|cosB
将|BC|=3/(2 sinB)代入得
2=(-3/2)|AB|cosB/ sinB,
|AB|=(-4/3)tanB,由此可知∠B为钝角.
由余弦定理,AC^2=|BC|^2+|AB|^2-2|AB||BC| cosB
=9/(2sinB)^2+(16/9)(tanB)^2-2*3/(2sinB)*(-4/3)tanB*cosB
=(9/4)/(sinB)^2+(16/9)(tanB)^2+4
【∵1/(sinB)^2=[(sinB)^2+(cosB)^2]/(sinB)^2
=(sinB)^2/(sinB)^2+(cosB)^2/(sinB)^2
=1+1/(tanB)^2,代入上式】
上式=(9/4)*[ 1+1/(tanB)^2] +(16/9)(tanB)^2+4
=(9/4)/(tanB)^2+(16/9)(tanB)^2+4+9/4……利用基本不等式
≥2√[(9/4)/(tanB)^2*(16/9)(tanB)^2] +4+9/4
=4+4+9/4=41/4.
∴|AC|≥√41/2.
当(9/4)/(tanB)^2=(16/9)(tanB)^2时取到等号.
此时tanB=-3√2/4.