设数列满足an=1,a2=2,an=1/3(an-1+2an-2)(n∈N*且n≥3),1.求证数列an+1-an是等比数列2.球数列an的通项an.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/25 09:20:38
![设数列满足an=1,a2=2,an=1/3(an-1+2an-2)(n∈N*且n≥3),1.求证数列an+1-an是等比数列2.球数列an的通项an.](/uploads/image/z/10287221-5-1.jpg?t=%E8%AE%BE%E6%95%B0%E5%88%97%E6%BB%A1%E8%B6%B3an%3D1%2Ca2%3D2%2Can%3D1%2F3%28an-1%2B2an-2%29%28n%E2%88%88N%2A%E4%B8%94n%E2%89%A53%EF%BC%89%2C1.%E6%B1%82%E8%AF%81%E6%95%B0%E5%88%97an%2B1-an%E6%98%AF%E7%AD%89%E6%AF%94%E6%95%B0%E5%88%972.%E7%90%83%E6%95%B0%E5%88%97an%E7%9A%84%E9%80%9A%E9%A1%B9an.)
设数列满足an=1,a2=2,an=1/3(an-1+2an-2)(n∈N*且n≥3),1.求证数列an+1-an是等比数列2.球数列an的通项an.
设数列满足an=1,a2=2,an=1/3(an-1+2an-2)(n∈N*且n≥3),1.求证数列an+1-an是等比数列
2.球数列an的通项an.
设数列满足an=1,a2=2,an=1/3(an-1+2an-2)(n∈N*且n≥3),1.求证数列an+1-an是等比数列2.球数列an的通项an.
为区别下标,我用An代替你的an
由题意,有 3An =A(n-1) +2A(n-2)
两边同时减去3A(n-1) ,得3An-3A(n-1)=-2A(n-1) +2A(n-2)
整理,变形,得,An-A(n-1)=-2/3*[A(n-1) -A(n-2)]
∴ { An-A(n-1)} 是一个新的等比数列
(说 { A(n+1)-An} 是等比数列,是一个意思,后者只是相当于前者的后一项 )
这个新等比数列的首项为 A2-A1=1 ,公比q= -2/3
{ A(n+1)-An} 的通项为 A(n+1)-An=1×(-2/3)^(n-1)=(-2/3)^(n-1)
下面我们来求An的通项.
∵ A(n+1)-An=(-2/3)^(n-1)
∴ An-A(n-1)=(-2/3)^(n-2)
无穷往下写 A(n-1)-A(n-2)=(-2/3)^(n-3)
A(n-2)-A(n-3)=(-2/3)^(n-4)
..
A3-A2 = (-2/3)^(1)
A2-A1 = (-2/3)^(0)
将这些式子相加,(左边会发生很多抵消,右边是等比求和) ,可得
An-A1= (问号的结果是一个等比数列求和)
再移项,就得到An 了 ,但这个结果是在n≥2的前提下才成立(因为要保证这些式子的最小下标有意义)
,再检验一下n=1时,A1是不是满足刚才求出的表达式,如果是,最后照抄一次An表达式,如果不满足,那就把An写成分段函数的形式.