已知函数f(x)=(x^2+2x+a)/x,x属于1到正无穷.对于任意x属于1到正无穷,f(x)>0恒成立,试求a的取值范围.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/19 11:01:55
![已知函数f(x)=(x^2+2x+a)/x,x属于1到正无穷.对于任意x属于1到正无穷,f(x)>0恒成立,试求a的取值范围.](/uploads/image/z/11487806-62-6.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%3D%28x%5E2%2B2x%2Ba%29%2Fx%2Cx%E5%B1%9E%E4%BA%8E1%E5%88%B0%E6%AD%A3%E6%97%A0%E7%A9%B7.%E5%AF%B9%E4%BA%8E%E4%BB%BB%E6%84%8Fx%E5%B1%9E%E4%BA%8E1%E5%88%B0%E6%AD%A3%E6%97%A0%E7%A9%B7%2Cf%28x%29%3E0%E6%81%92%E6%88%90%E7%AB%8B%2C%E8%AF%95%E6%B1%82a%E7%9A%84%E5%8F%96%E5%80%BC%E8%8C%83%E5%9B%B4.)
已知函数f(x)=(x^2+2x+a)/x,x属于1到正无穷.对于任意x属于1到正无穷,f(x)>0恒成立,试求a的取值范围.
已知函数f(x)=(x^2+2x+a)/x,x属于1到正无穷.
对于任意x属于1到正无穷,f(x)>0恒成立,试求a的取值范围.
已知函数f(x)=(x^2+2x+a)/x,x属于1到正无穷.对于任意x属于1到正无穷,f(x)>0恒成立,试求a的取值范围.
(x²+2x+a)/x >0恒成立 因为x大于1 所以x²+2x+a>0在x属于1到正无穷恒成立
a>-(x²+2x)在x属于1到正无穷恒成立 所以a大于-(x²+2x)在x属于1到正无穷上的最大值
最大值为-3 所以a>-3
函数y=x^2+2x+a的倒数y‘=2x+2>0
在1,,正无穷为增函数
则f(x)min=f(1)=1+2+a>=0
所以a大于等于-3
f(x)=(x^2+2x+a)/x=x+a/x +2
f(x)>0
x+a/x>-2
当a>=0时
f(x)是对钩函数 最小值是 x=√a 时
即 2√a >-2 因为√a >0 所以a∈[0,正无穷)时均成立
当a<0时
f(x)是一个增函数 最小值是x=1时
1+a>-2
所以a>-3 所以a∈(-3,0...
全部展开
f(x)=(x^2+2x+a)/x=x+a/x +2
f(x)>0
x+a/x>-2
当a>=0时
f(x)是对钩函数 最小值是 x=√a 时
即 2√a >-2 因为√a >0 所以a∈[0,正无穷)时均成立
当a<0时
f(x)是一个增函数 最小值是x=1时
1+a>-2
所以a>-3 所以a∈(-3,0)
所以综上所述 a∈(-3,正无穷)
或者
因为f(x)=(x^2+2x+a)/x,x∈[1,正无穷)
f(x)>0
x^2+2x+a>0即可
(x+1)^+a-1>0
此时此函数满足x最小时成立即都可成立
x=1时 4+a-1>0
a>-3
收起
因为×大于等于1,所以×^2+2×+a>0恒成立,所以移项即a>-(×^2+2×)即只需求出-(×^2+2×)最大值根据抛物线开口向下,即对称轴处×=1取得最大值-3,所以a>-3