已知函数f(x)=1/2x2-alnx,a>0(1)当a=2时,函数f(x)的极值(2)求函数f(x)在区间[1,e]上的最小值简答题模式
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/25 20:06:15
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已知函数f(x)=1/2x2-alnx,a>0(1)当a=2时,函数f(x)的极值(2)求函数f(x)在区间[1,e]上的最小值简答题模式
已知函数f(x)=1/2x2-alnx,a>0
(1)当a=2时,函数f(x)的极值
(2)求函数f(x)在区间[1,e]上的最小值
简答题模式
已知函数f(x)=1/2x2-alnx,a>0(1)当a=2时,函数f(x)的极值(2)求函数f(x)在区间[1,e]上的最小值简答题模式
f'(x)=x-a/x
(1)当a=2时,f'(x)=x-2/x
令f'(x)=0,解得:x=±√2
当x<-√2时,f'(x)<0,∴f(x)在x=-√2取得极小值
当x>√2时,f'(x)<0,∴f(x)在x= √2取得极大值
(2)∵f(x)在[1,√2]上单调递增,在[√2,e]上单调递减
f(1)=1/2,f(e)=e^2/2-2>f(1)
∴f(x)[1,e]上的最小值为f(1)=1/2
[x^(-1)]'=-x^(-2)
f'(x)=1+2/x^2-a/x=(x^2-ax+2)/x^2
定义域x>0
所以x^2>0
x^2-ax+2=(x-a/2)^2-a^2/4+2
若2-a^2/4>=0
-2√2<=a<=2√2,又a>0
即0则x^2-ax+2恒大于等于0
则f'(x)>=0
增...
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[x^(-1)]'=-x^(-2)
f'(x)=1+2/x^2-a/x=(x^2-ax+2)/x^2
定义域x>0
所以x^2>0
x^2-ax+2=(x-a/2)^2-a^2/4+2
若2-a^2/4>=0
-2√2<=a<=2√2,又a>0
即0则x^2-ax+2恒大于等于0
则f'(x)>=0
增函数
若a>2√2
x^2-ax+2=0
x=[a±√(a^2-8)]/2
则若x^2-ax+2>0,x>[a+√(a^2-8)]/2,x<[a-√(a^2-8)]/2
若x^2-ax+2<0,[a-√(a^2-8)]/2
综上
0a>2√2,则x>[a+√(a^2-8)]/2,0<[a-√(a^2-8)]/2时是增函数,
[a-√(a^2-8)]/2
f'(x)=1+2/x^2-3/x=(x^2-3x+2)/x^2=0,x=1,x=2
则x>2时是增函数,
1
x=1或e^2最大
f(e^2)=e^2-2/e^2-5最大
[2-3ln2,e^2-2/e^2-5]
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已知函数f(x)=(1/2)x²-alnx,a>0;(1)当a=2时,函数f(x)的极值;(2)求函数f(x)在区间[1,e]上的最小值
(1)。定义域:x>0;当a=2时,f(x)=(1/2)x²-2lnx;令f'(x)=x-(2/x)=(x²-2)/x=(x+√2)(x-√2)/x=0,
得驻点x₁=-√2(舍去,因为不在定义域内);x...
全部展开
已知函数f(x)=(1/2)x²-alnx,a>0;(1)当a=2时,函数f(x)的极值;(2)求函数f(x)在区间[1,e]上的最小值
(1)。定义域:x>0;当a=2时,f(x)=(1/2)x²-2lnx;令f'(x)=x-(2/x)=(x²-2)/x=(x+√2)(x-√2)/x=0,
得驻点x₁=-√2(舍去,因为不在定义域内);x₂=√2;x₂是极小点。
故极小值f(x)=f(√2)=1-2ln√2=1-ln2≈0.307;无极大值。
(2)。f(x)=(1/2)x²-alnx;f'(x)=x-a/x=(x²-a)/x;
当0当1≦a≦e² 时,由f'(x)=x-a/x=(x²-a)/x=0,得极小点x=√a;minf(x)=f(√a)=(a/2)(1-lna);
当a>e² 时,在区间[1,e]上恒有f'(x)=(x²-a)/x<0,即f(x)在此区间上单调减,故minf(x)=f(e)=(e²/2)-a.
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