作业帮已知函数f(x)=（1/3）x^3+（t/2）x^2+(2t-1)x+1（1）若f(x)在R上位增函数,求实数t的取值范围（2）当x∈【0,2】时,不等式f（x）+x^2+x-1/6≥0恒成立,求实数t的取值范围
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/10 14:09:07
已知函数f(x)=（1/3）x^3+（t/2）x^2+(2t-1)x+1（1）若f(x)在R上位增函数,求实数t的取值范围（2）当x∈【0,2】时,不等式f（x）+x^2+x-1/6≥0恒成立,求实数t的取值范围
已知函数f(x)=（1/3）x^3+（t/2）x^2+(2t-1)x+1（1）若f(x)在R上位增函数,求实数t的取值范围（2）当x∈【0,2】时,不等式f（x）+x^2+x-1/6≥0恒成立,求实数t的取值范围
已知函数f(x)=（1/3）x^3+（t/2）x^2+(2t-1)x+1（1）若f(x)在R上位增函数,求实数t的取值范围（2）当x∈【0,2】时,不等式f（x）+x^2+x-1/6≥0恒成立,求实数t的取值范围
（1）因为f(x)=（1/3）x^3+（t/2）x^2+(2t-1)x+1
所以f'(x) = x^2+tx+2t-1
因为f(x)在R上为增函数
所以△= t^2 -8t+4≤0在R上恒成立
解得：t∈[4-2√3,4+2√3]
（2）由题：（1/3）x^3+（t/2）x^2+(2t-1)x+1+x^2+x-1/6≥0恒成立
令g(x)=（1/3）x^3+（t/2）x^2+(2t-1)x+1+x^2+x-1/6
即 gmin≥0恒成立
则g'(x)=x^2+(t+2)x+2t
所以x1=-2；x2=-t
若t≥0则g(x)在x∈【0,2】上单调递增
gmin=g(0)=5/6≥0恒成立 满足条件
若-2≤ t≤0则g(x)在x∈【0,-t】上单调递减,在【-t,2】上单调递增
gmin=g(-t)=1/6t^3-t^2+5/6≥0
即(t-1)(t^2-5t-5)≥0
解得：t∈[(5-3√5)/2,0]
若t≤-2则g(x)在x∈【0,2】上单调递减
gmin=g(2)=6t+15/2≥0
无解
综上t∈[(5-3√5)/2,+∝]
(1) f'(x) = x^2+tx+2t-1>0 对于所有的t
t^2-4(2t-1)<=0, t^2 -8t+4<=0, => [4-2sqrt(3),4+2sqrt(3)]
（2）第二个问题，没有确定的想法