设n≠1,证明(n-1)²|(n^k-1)的充要条件是(n-1)|k .(n^k-1)这是n的k次方减1
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/25 20:02:31
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设n≠1,证明(n-1)²|(n^k-1)的充要条件是(n-1)|k .(n^k-1)这是n的k次方减1
设n≠1,证明(n-1)²|(n^k-1)的充要条件是(n-1)|k .
(n^k-1)这是n的k次方减1
设n≠1,证明(n-1)²|(n^k-1)的充要条件是(n-1)|k .(n^k-1)这是n的k次方减1
设n≠1,证明(n-1)²|(n^k-1)的充要条件是(n-1)|k .
证明:
n^k=[(n-1)+1]^k=(n-1)^k+C(k,1)*(n-1)^(k-1)+.+C(k,i)*(n-1)^(k-i)+.+C(k,k-2)*(n-1)^2+C(k,k-1)*(n-1)+1,
n^k-1=(n-1)^k+C(k,1)*(n-1)^(k-1)+.+C(k,i)*(n-1)^(k-i)+.+C(k,k-2)*(n-1)^2+k*(n-1)
因为n≠1,所以n-1≠0,
(n^k-1)/(n-1)²=[(n-1)^k+C(k,1)*(n-1)^(k-1)+.+C(k,i)*(n-1)^(k-i)+.+k*(n-1)]/(n-1)²
=(n-1)^(k--2)+C(k,1)*(n-1)^(k-3)+.+C(k,i)*(n-1)^(k-i-2)+.+C(k,k-2)+k/(n-1).(*),
显然(*)式中,除最后一项外均为整数,所以(*)式为整数必须且只需最后一项k/(n-1)为整数,
所以(n^k-1)/(n-1)²是整数等价于k/(n-1)为整数
即(n-1)²|(n^k-1)的充要条件是(n-1)|k.