已知函数f(x)=x^2+x-ln(x+a)+3b在x=0出取得极值0.(1)求实数a,b的值(这个问题可以不做,主要解答下第3个问题)(2)若关于x的方程f(x)=5/2*x+m在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实数m的取值范围;(3)证明:
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/25 17:17:01
![已知函数f(x)=x^2+x-ln(x+a)+3b在x=0出取得极值0.(1)求实数a,b的值(这个问题可以不做,主要解答下第3个问题)(2)若关于x的方程f(x)=5/2*x+m在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实数m的取值范围;(3)证明:](/uploads/image/z/13563853-61-3.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%3Dx%5E2%2Bx-ln%28x%2Ba%29%2B3b%E5%9C%A8x%3D0%E5%87%BA%E5%8F%96%E5%BE%97%E6%9E%81%E5%80%BC0.%281%29%E6%B1%82%E5%AE%9E%E6%95%B0a%2Cb%E7%9A%84%E5%80%BC%28%E8%BF%99%E4%B8%AA%E9%97%AE%E9%A2%98%E5%8F%AF%E4%BB%A5%E4%B8%8D%E5%81%9A%2C%E4%B8%BB%E8%A6%81%E8%A7%A3%E7%AD%94%E4%B8%8B%E7%AC%AC3%E4%B8%AA%E9%97%AE%E9%A2%98%29%282%29%E8%8B%A5%E5%85%B3%E4%BA%8Ex%E7%9A%84%E6%96%B9%E7%A8%8Bf%28x%29%3D5%2F2%2Ax%2Bm%E5%9C%A8%E5%8C%BA%E9%97%B4%5B0%2C2%5D%E4%B8%8A%E6%81%B0%E6%9C%89%E4%B8%A4%E4%B8%AA%E4%B8%8D%E5%90%8C%E7%9A%84%E5%AE%9E%E6%95%B0%E6%A0%B9%2C%E6%B1%82%E5%AE%9E%E6%95%B0m%E7%9A%84%E5%8F%96%E5%80%BC%E8%8C%83%E5%9B%B4%3B%283%29%E8%AF%81%E6%98%8E%3A)
已知函数f(x)=x^2+x-ln(x+a)+3b在x=0出取得极值0.(1)求实数a,b的值(这个问题可以不做,主要解答下第3个问题)(2)若关于x的方程f(x)=5/2*x+m在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实数m的取值范围;(3)证明:
已知函数f(x)=x^2+x-ln(x+a)+3b在x=0出取得极值0.
(1)求实数a,b的值(这个问题可以不做,主要解答下第3个问题)
(2)若关于x的方程f(x)=5/2*x+m在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实数m的取值范围;
(3)证明:对任意的正整数n>1,不等式1+1/2+1/3+……+1/n-1>ln{(n+1)/2}(是2分之n+1)
若关于x的方程f(x)=5/2*x+m在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,(2分之5乘以x)
已知函数f(x)=x^2+x-ln(x+a)+3b在x=0出取得极值0.(1)求实数a,b的值(这个问题可以不做,主要解答下第3个问题)(2)若关于x的方程f(x)=5/2*x+m在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实数m的取值范围;(3)证明:
(1)求实数a,b的值
已知函数f(x)=x^2+x-ln(x+a)+3b在x=0出取得极值0.
f'(x)=2x+1-1/(x+a)
f' (0)=0=1-1/a,得a=1
f (0)=0=3b-ln[a],得b=0
所以:f(x)=x^2+x-ln[x+1]
(2)若关于x的方程f(x)=5x/2+m在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实数m的取值范围;
f(x)=x^2+x-ln[x+1]=5x/2+m
化简得:x^2-3x/2-ln[x+1]-m=0
记g(x)= x^2-3x/2-ln[x+1]-m
g(x)的定义域为:x>-1
由g’(x)=2x-3/2-1/(x+1)=0,解得:x=-5/4(舍去)或1
所以g(x)只有一个极值点x=1,位于[0,2],且取得最小值.
所以在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,要求:
g(1)ln{(k+1)/2}成立
则n=k+1时,
左边=1+1/2+1/3+……+1/k-1+1/k>ln{(k+1)/2}+1/k
右边=ln{(k+2)/2}
目标证明:
ln{(k+1)/2}+1/k>ln{(k+2)/2}
等价:1/k>ln{(k+2)/2}-ln{(k+1)/2}=ln[(k+2)/(k+1)]
等价:e^(1/k)>(k+2)/(k+1)=1+1/(k+1)
等价:e>{1+1/(k+1)}^k
由于f(k)={1+1/(k+1)}^k的极限为e,且为递增函数.
所以e>{1+1/(k+1)}^k成立.
因此n=k+1时,不等式也成立
即对于所有n>1不等式1+1/2+1/3+……+1/n-1>ln{(n+1)/2}成立.
故得证.
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