如果a>b,ab=1求证:a^2 + b^2 >= 2倍根号2 乘(a-b) 并指明何时取等号
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/23 01:42:47
![如果a>b,ab=1求证:a^2 + b^2 >= 2倍根号2 乘(a-b) 并指明何时取等号](/uploads/image/z/13596511-31-1.jpg?t=%E5%A6%82%E6%9E%9Ca%3Eb%2Cab%3D1%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9Aa%5E2+%2B+b%5E2+%3E%3D+2%E5%80%8D%E6%A0%B9%E5%8F%B72+%E4%B9%98%EF%BC%88a-b%29+%E5%B9%B6%E6%8C%87%E6%98%8E%E4%BD%95%E6%97%B6%E5%8F%96%E7%AD%89%E5%8F%B7)
如果a>b,ab=1求证:a^2 + b^2 >= 2倍根号2 乘(a-b) 并指明何时取等号
如果a>b,ab=1
求证:a^2 + b^2 >= 2倍根号2 乘(a-b) 并指明何时取等号
如果a>b,ab=1求证:a^2 + b^2 >= 2倍根号2 乘(a-b) 并指明何时取等号
∵a>b,∴a-b>0,∴a-b+2/(a-b)≥2√{(a-b)[2/(a-b)]}=2√2,
∴(a-b)^2+2≥2√2(a-b),∴a^2-2ab+b^2+2≥2√2(a-b).
而ab=1,代入上式后整理,得:a^2+b^2≥2√2(a-b).
显然,当a-b=2/(a-b)时,取等号.此时,a-b=√2,又ab=1,得:-ab=-1.
∴由韦达定理,得:a、-b为方程x^2-√2x-1=0的两根.
∴x=[√2±√(2+4)]/2=(√2±√6)/2.
而a>b,∴a=(√2+√6)/2,-b=(√2-√6)/2,得:b=(√6-√2)/2.
即当a=(√6+√2)/2,b=(√6-√2)/2时,取等号.