已知三角形一边及该边对应角如何确定其周长范围
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/16 01:52:36
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已知三角形一边及该边对应角如何确定其周长范围
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已知三角形一边及该边对应角如何确定其周长范围
题中的应字需要去掉.
不失一般性,设△ABC中,A、a已知,则求(a+b+c)取值范围的方法如下:
在三角形中,两边之和大于第三边,∴b+c>a,∴a+b+c>2a.
由余弦定理,有:b^2+c^2-2bccosA=a^2,∴(b+c)^2-2bc(1+cosA)=a^2.······①
很显然,b、c都是正数,∴b+c≧2√(bc),∴(b+c)^2≧4bc,
∴2bc≦(1/2)(b+c)^2,
∴2bc(1+cosA)≦(1/2)(b+c)^2(1+cosA)······②
①+②,得:(b+c)^2≦a^2+(1/2)(b+c)^2(1+cosA),
∴(b+c)^2[1-(1/2)(1+cosA)]≦a^2,∴(b+c)^2(1-cosA)≦2a^2,
∴(b+c)^2[sin(A/2)]^2≦a^2,∴(b+c)sin(A/2)≦a,
∴b+c≦a/sin(A/2),∴a+b+c≦a+a/sin(A/2).
由a+b+c>2a、a+b+c≦a+a/sin(A/2),得:2a<a+b+c≦a+a/sin(A/2).
∴三角形周长的取值范围是(2a,a+a/sin(A/2)],其中a、A分别是已知的边及其对角.