如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=kPA,点E、D分别是AC、PC的中点,EP⊥底面ABC. 当K=1/2时,求直线PA与平面PBC所成角的余弦
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/21 19:02:19
![如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=kPA,点E、D分别是AC、PC的中点,EP⊥底面ABC. 当K=1/2时,求直线PA与平面PBC所成角的余弦](/uploads/image/z/14475315-3-5.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E5%9C%A8%E4%B8%89%E6%A3%B1%E9%94%A5P-ABC%E4%B8%AD%2CAB%E2%8A%A5BC%2CAB%3DBC%3DkPA%2C%E7%82%B9E%E3%80%81D%E5%88%86%E5%88%AB%E6%98%AFAC%E3%80%81PC%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%82%B9%2CEP%E2%8A%A5%E5%BA%95%E9%9D%A2ABC%EF%BC%8E+%E5%BD%93K%3D1%2F2%E6%97%B6%2C%E6%B1%82%E7%9B%B4%E7%BA%BFPA%E4%B8%8E%E5%B9%B3%E9%9D%A2PBC%E6%89%80%E6%88%90%E8%A7%92%E7%9A%84%E4%BD%99%E5%BC%A6)
如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=kPA,点E、D分别是AC、PC的中点,EP⊥底面ABC. 当K=1/2时,求直线PA与平面PBC所成角的余弦
如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=kPA,点E、D分别是AC、PC的中点,EP⊥底面ABC. 当K=1/2时,求直线PA与平面PBC所成角的余弦
如图,在三棱锥P-ABC中,AB⊥BC,AB=BC=kPA,点E、D分别是AC、PC的中点,EP⊥底面ABC. 当K=1/2时,求直线PA与平面PBC所成角的余弦
令BC的中点为F.利用赋值法,设AB=1,则:BC=1、PA=2.
∵PE⊥平面ABC,∴PE⊥AC,又E∈AC且AE=CE,∴PC=PA=2.
∵AB=BC=1、AB⊥BC,∴AC=√2,∴AE=√2/2,
∴PE=√(PA^2-AE^2)=√(4-1/2)=√7/√2.
∴S(△ABC)=(1/2)AB×BC=1/2,
∴V(P-ABC)=(1/3)S(△ABC)×PE=(1/3)×(1/2)×(√7/√2)=√14/12.
∵AB=BC、AB⊥BC、E∈AC且AE=CE,∴BE=CE.
∵PE⊥平面ABC,∴BE、CE分别是PB、PC在平面ABC上的射影,又BE=CE,∴PB=PC=2.
∵PB=PC=2、BC=1、F∈BC且BF=CF,∴BF=1/2、PF⊥BF,
∴PF=√(PB^2-BF^2)=√(4-1/4)=√15/2.
∴S(△PBC)=(1/2)BC×PF=(1/2)×1×(√15/2)=√15/4.
过A作AG⊥平面PBC交平面PBC于G.显然有:
V(A-PBC)=(1/3)S(△PBC)×AG=V(P-ABC)=√14/12,
∴(1/3)×(√15/4)AG=√14/12,∴AG=√14/√15,
∴sin∠APG=AG/PA=(√14/√15)/2=√7/√30,
∴cos∠APG=√[1-(sin∠APG)^2]=√(1-7/30)=√23/√30=√69/30.
∴直线PA与平面PBC所成角的余弦值为√69/30.