设向量组α1 α2 α3线性无关,向量组α2 α3 α4线性相关.证明:(1) α4可由α1 α2 α3线性表示 (2)α1不能由α2 α3 α4线性表示.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/23 14:19:19
![设向量组α1 α2 α3线性无关,向量组α2 α3 α4线性相关.证明:(1) α4可由α1 α2 α3线性表示 (2)α1不能由α2 α3 α4线性表示.](/uploads/image/z/14734212-60-2.jpg?t=%E8%AE%BE%E5%90%91%E9%87%8F%E7%BB%84%CE%B11+%CE%B12+%CE%B13%E7%BA%BF%E6%80%A7%E6%97%A0%E5%85%B3%2C%E5%90%91%E9%87%8F%E7%BB%84%CE%B12+%CE%B13+%CE%B14%E7%BA%BF%E6%80%A7%E7%9B%B8%E5%85%B3.%E8%AF%81%E6%98%8E%3A%281%29+%CE%B14%E5%8F%AF%E7%94%B1%CE%B11+%CE%B12+%CE%B13%E7%BA%BF%E6%80%A7%E8%A1%A8%E7%A4%BA+%282%29%CE%B11%E4%B8%8D%E8%83%BD%E7%94%B1%CE%B12+%CE%B13+%CE%B14%E7%BA%BF%E6%80%A7%E8%A1%A8%E7%A4%BA.)
设向量组α1 α2 α3线性无关,向量组α2 α3 α4线性相关.证明:(1) α4可由α1 α2 α3线性表示 (2)α1不能由α2 α3 α4线性表示.
设向量组α1 α2 α3线性无关,向量组α2 α3 α4线性相关.
证明:(1) α4可由α1 α2 α3线性表示 (2)α1不能由α2 α3 α4线性表示.
设向量组α1 α2 α3线性无关,向量组α2 α3 α4线性相关.证明:(1) α4可由α1 α2 α3线性表示 (2)α1不能由α2 α3 α4线性表示.
(1)
a1,a2,a3线性无关,所以对于实数x,y,z,若xa1+ya2+za3=0,则x=y=z=0.(*)
a2,a3,a4线性相关,所以存在不全为零的实数u,v,w,使得ua2+va3+wa4=0
若w=0,则ua2+va3=0,由(*)知,u=v=0,矛盾!
所以有w≠0,a4=-(u/w) a2 - (v/w) a3,即a4可由a1,a2,a3线性表示
(2)
若a1可由a2,a3,a4线性表示,则不妨设a1=pa2+qa3+ra4,p,q,r∈R
又a4=-(u/w) a2 - (v/w) a3,带入有
a1=(p-ru/w)a2+(q-rv/w)a3,这与a1,a2,a3线性无关矛盾!
所以a1不能由a2,a3,a4线性表示
证明:(1)因为向量组α2 α3 α4线性相关,所以向量组α1 α2 α3 α4线性相关
所以k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0,其中k1234不全为0
如果k4等于0,即k1α1+k2α2+k3α3=0,与向量组α1 α2 α3线性无关矛盾
(2)向量组α2 α3 α4...
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证明:(1)因为向量组α2 α3 α4线性相关,所以向量组α1 α2 α3 α4线性相关
所以k1α1+k2α2+k3α3+k4α4=0,其中k1234不全为0
如果k4等于0,即k1α1+k2α2+k3α3=0,与向量组α1 α2 α3线性无关矛盾
(2)向量组α2 α3 α4线性相关,向量组α1 α2 α3线性无关,所以α4可以由α2 α3 线性表示
如果α1能由α2 α3 α4线性表示,即是说α1能由α2 α3线性表示,与向量组α1 α2 α3线性无关矛盾
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