已知函数f(x)对任意实数x,y都有f(x)+f(y)=2f[(x+y)/2]f[(x-y)/2],f(0)不等于0,且存在非零常数c,使f(c)=0,(1)求f(0)的值 (2)判断f(x)的奇偶性并证明(3)求证f(x)为周期函数并求出f(x)的一个周期.求第三
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/22 09:34:52
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已知函数f(x)对任意实数x,y都有f(x)+f(y)=2f[(x+y)/2]f[(x-y)/2],f(0)不等于0,且存在非零常数c,使f(c)=0,(1)求f(0)的值 (2)判断f(x)的奇偶性并证明(3)求证f(x)为周期函数并求出f(x)的一个周期.求第三
已知函数f(x)对任意实数x,y都有f(x)+f(y)=2f[(x+y)/2]f[(x-y)/2],f(0)不等于0,且存在非零常数c,使f(c)=0,(1)求f(0)的值 (2)判断f(x)的奇偶性并证明(3)求证f(x)为周期函数并求出f(x)的一个周期.
求第三问过程,谢
已知函数f(x)对任意实数x,y都有f(x)+f(y)=2f[(x+y)/2]f[(x-y)/2],f(0)不等于0,且存在非零常数c,使f(c)=0,(1)求f(0)的值 (2)判断f(x)的奇偶性并证明(3)求证f(x)为周期函数并求出f(x)的一个周期.求第三
1.令x=y=0,代入得:2f(0)=2f(0)^2,依题意知:f(0)=1
2,令y=-x,代入得:f(x)+f(-x)=2f(0)f(x),从而易得f(x)=f(-x),于是f(x)是偶函数
3.令y=x+c,代入得:f(x)+f(x+c)=0
令y=-x+c,代入得:f(x)+f(-x+c)=0两式相减得:f(x+c)=f(-x+c),由奇偶性知:f(x+c)=f(x-c)
再令x=Z+c,即得f(Z+2c)=f(Z),得证!
1) 令x=y=0,则 2*f(0)=2*f(0)*f(0) 并且 f(0)不等于0,所以f(0) = 1;
2) 令y = -x,则 f(x)+f(-x)=2*f(0)*f(x)=2*f(x),所以f(x) = f(-x)为偶函数;
3) 令y=x-2c, 则 f(x)+f(x-2c)=2*f(x-c)*f(c)=0;所以f(x)= -f(x-2c) = -[ -f((x-2c)...
全部展开
1) 令x=y=0,则 2*f(0)=2*f(0)*f(0) 并且 f(0)不等于0,所以f(0) = 1;
2) 令y = -x,则 f(x)+f(-x)=2*f(0)*f(x)=2*f(x),所以f(x) = f(-x)为偶函数;
3) 令y=x-2c, 则 f(x)+f(x-2c)=2*f(x-c)*f(c)=0;所以f(x)= -f(x-2c) = -[ -f((x-2c)-2c)] = f(x-4c),
所以 f(x)为周期函数,并且 4c是f(x)的一个周期。
收起