如图,点O为正方形ABCD的中心,点E、F分别在DA、CD的延长线上,AE=DF,连BE、AF.(1)求证;BE⊥AF;(2)延长FA交BE于G,连OG,求∠OGF的度数;(3)在(2)中,若AE=√5,AB=2√5,求OG的长.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/26 01:39:34
![如图,点O为正方形ABCD的中心,点E、F分别在DA、CD的延长线上,AE=DF,连BE、AF.(1)求证;BE⊥AF;(2)延长FA交BE于G,连OG,求∠OGF的度数;(3)在(2)中,若AE=√5,AB=2√5,求OG的长.](/uploads/image/z/14914120-40-0.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E7%82%B9O%E4%B8%BA%E6%AD%A3%E6%96%B9%E5%BD%A2ABCD%E7%9A%84%E4%B8%AD%E5%BF%83%2C%E7%82%B9E%E3%80%81F%E5%88%86%E5%88%AB%E5%9C%A8DA%E3%80%81CD%E7%9A%84%E5%BB%B6%E9%95%BF%E7%BA%BF%E4%B8%8A%2CAE%3DDF%2C%E8%BF%9EBE%E3%80%81AF.%EF%BC%881%EF%BC%89%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9BBE%E2%8A%A5AF%EF%BC%9B%EF%BC%882%EF%BC%89%E5%BB%B6%E9%95%BFFA%E4%BA%A4BE%E4%BA%8EG%2C%E8%BF%9EOG%2C%E6%B1%82%E2%88%A0OGF%E7%9A%84%E5%BA%A6%E6%95%B0%EF%BC%9B%EF%BC%883%EF%BC%89%E5%9C%A8%EF%BC%882%EF%BC%89%E4%B8%AD%2C%E8%8B%A5AE%3D%E2%88%9A5%2CAB%3D2%E2%88%9A5%2C%E6%B1%82OG%E7%9A%84%E9%95%BF.)
如图,点O为正方形ABCD的中心,点E、F分别在DA、CD的延长线上,AE=DF,连BE、AF.(1)求证;BE⊥AF;(2)延长FA交BE于G,连OG,求∠OGF的度数;(3)在(2)中,若AE=√5,AB=2√5,求OG的长.
如图,点O为正方形ABCD的中心,点E、F分别在DA、CD的延长线上,AE=DF,连BE、AF.
(1)求证;BE⊥AF;
(2)延长FA交BE于G,连OG,求∠OGF的度数;
(3)在(2)中,若AE=√5,AB=2√5,求OG的长.
如图,点O为正方形ABCD的中心,点E、F分别在DA、CD的延长线上,AE=DF,连BE、AF.(1)求证;BE⊥AF;(2)延长FA交BE于G,连OG,求∠OGF的度数;(3)在(2)中,若AE=√5,AB=2√5,求OG的长.
(1)过E做直线EN∥AF交DF延长线于N点.
∵EF∥AF,
∴Rt△ADF∽Rt△EDF
∴∠DAF=∠DEN
又∵AE=DF,AB=AD,∠EAB=∠ADF=90°
∴△BAE≌△ADF
∴∠AEB=∠AFD
∵∠BEN=∠BEA+∠DEN
∴∠BEN=∠DAF+∠DFA=90°
∴NE⊥BE,且NE∥AF
∴AF∥BE
(2)过O做OH⊥AB,垂足H,连接OH、OG
根据(1)可知,FG⊥BE,即∠FGB=90°
并且△BOA是直角等腰三角形,OH⊥AB
∴H是AB的中点
∴Rt△AGB中,GH=BH=AH
∴∠GHB=∠HBG
∠HGO=∠HOG
∠OBH=∠HOB=45°
∵△OHG中,∠OHG+2∠HGO=180°
∵∠OHG=2(∠OBH+∠HBG)
∴∠OBH+∠HBG+∠HGO=90°
∵FG⊥BE,
∴∠HBG+∠HGO+∠OGA=90°
∴∠HBG+∠HGO+∠OGA=∠OBH+∠HBG+∠HGO
∴∠OGA=∠OBH=45°
(3)用三角函数求OG长,假设OG长为X
∵在△AGO中,∠OGA=45°
且cos∠OGA=(AG²+X²-OA²)/2AG×X
∵AE=√5,AB=2√5
∴BE=5,AG=2,AO=√10
∴(4+X²-10)/4X=√2/2 (cos45°=√2/2)
∴X²-2√2X-6=0===》X²-2√2X+2-8=0===》(X-√2)²=8===》X-√2=2√2
∴X=3√2
∴OG长为3√2
(1)在RT△ABE和RT△ADF中
∵AE=DF AB=AD
∴△ABE≌△ADF
∴∠A1=∠B
∠A1=∠A2(对顶)
∠A2+∠E=90°
∴BE⊥FG(AF的延长线)即BE⊥AF
(2)连接OE 并在AF上取FH=EG得H点
在△OAE和△ODF中
AE=DF OA=OD ...
全部展开
(1)在RT△ABE和RT△ADF中
∵AE=DF AB=AD
∴△ABE≌△ADF
∴∠A1=∠B
∠A1=∠A2(对顶)
∠A2+∠E=90°
∴BE⊥FG(AF的延长线)即BE⊥AF
(2)连接OE 并在AF上取FH=EG得H点
在△OAE和△ODF中
AE=DF OA=OD ∠OAE=∠ODC(都是90+45)
∴△OAE≌△ODF
∴OE=OF ∠3=∠4
∵OA⊥OD ∴OE⊥OF
∴△EOF是等腰直角三角形
∴OG⊥OH(相当于随AE旋转了90)
∴△OGH也是等腰直角三角形
∴∠OGF=∠OHG=45°
(3)若AE=√5,AB=2√5,求OG的长。
在RT△AEG和RT△ABE中,
EG/AE=AE/BE (BE=√(AE²+AB²)=√(5+20)=5
∴EG=AE²/BE=5/5=1
又GA/AB=EG/AE
∴GA=AB*EG/AE =2√5*(1/ √5)=2
∴GH=GF-HF=(AF+AG)-HF=(BE+AG)-EG=(5+2)-1=6
∴OG=(√2)/2*HG=3√2
收起
(1)∵正方形ABCD AE=DF
∴△AFD≌△BEA
∴∠EBA=∠DAF
∵∠EAG=∠DAF(对顶角) ∠EAG+BAG=90°
∴∠EBA+BAG=90°
∴BE⊥AF
(2)∠OGF=45°