已知1/3≤a≤1,若f(x)=ax2-2x+1在区间[1,3]上的最大值为M(a),最小值为N(a),令g(a)=M(a)-N(a)(1)求g(a)的函数表达式;(2)判断g(a)的单调性,并求出g(a)的最小值.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/24 23:54:28
![已知1/3≤a≤1,若f(x)=ax2-2x+1在区间[1,3]上的最大值为M(a),最小值为N(a),令g(a)=M(a)-N(a)(1)求g(a)的函数表达式;(2)判断g(a)的单调性,并求出g(a)的最小值.](/uploads/image/z/14916133-37-3.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A51%2F3%E2%89%A4a%E2%89%A41%2C%E8%8B%A5f%28x%29%3Dax2-2x%2B1%E5%9C%A8%E5%8C%BA%E9%97%B4%5B1%2C3%5D%E4%B8%8A%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%A4%A7%E5%80%BC%E4%B8%BAM%28a%29%2C%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%80%BC%E4%B8%BAN%28a%29%2C%E4%BB%A4g%28a%29%3DM%EF%BC%88a%EF%BC%89-N%EF%BC%88a%EF%BC%89%EF%BC%881%EF%BC%89%E6%B1%82g%28a%29%E7%9A%84%E5%87%BD%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%BE%BE%E5%BC%8F%EF%BC%9B%EF%BC%882%EF%BC%89%E5%88%A4%E6%96%ADg%28a%29%E7%9A%84%E5%8D%95%E8%B0%83%E6%80%A7%2C%E5%B9%B6%E6%B1%82%E5%87%BAg%28a%29%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%80%BC.)
已知1/3≤a≤1,若f(x)=ax2-2x+1在区间[1,3]上的最大值为M(a),最小值为N(a),令g(a)=M(a)-N(a)(1)求g(a)的函数表达式;(2)判断g(a)的单调性,并求出g(a)的最小值.
已知1/3≤a≤1,若f(x)=ax2-2x+1在区间[1,3]上的最大值为M(a),最小值为N(a),令g(a)=M(a)-N(a)
(1)求g(a)的函数表达式;
(2)判断g(a)的单调性,并求出g(a)的最小值.
已知1/3≤a≤1,若f(x)=ax2-2x+1在区间[1,3]上的最大值为M(a),最小值为N(a),令g(a)=M(a)-N(a)(1)求g(a)的函数表达式;(2)判断g(a)的单调性,并求出g(a)的最小值.
f'(x)=2ax-2,因为a>0,所以f"=2a>0,f'(x)为增函数
若f'(x)=0,则x=1/a,所以f(x)在[1,1/a]为减函数,在[1/a,3]为增函数,且对x=1/a对称.
所以N(a)=f(1/a)=1-1/a
当a在[1/3,1/2]时,1/a在[2,3],|1-1/a|>|3-1/a|,所以,M(a)=f(1)=a-1
当a在[1/2,1]时,1/a在[1,2],|1-1/a|
(1)求g(a)的函数表达式;
(2)判断g(a)的单调性,并求出g(a)的最小值。
f'(x)=2ax-2,因为a>0,所以f"=2a>0,f'(x)为增函数
若f'(x)=0,则x=1/a,所以f(x)在[1,1/a]为减函数,在[1/a,3]为增函数,且对x=1/a对称。
所以N(a)=f(1/a)=1-1/a
当a在[1/3,1/2]时,1/a在[2,3],|1-1/a|>|3-1/a|,所以,M(a)=f(1)=a-1
当a在[1/2,1]...
全部展开
f'(x)=2ax-2,因为a>0,所以f"=2a>0,f'(x)为增函数
若f'(x)=0,则x=1/a,所以f(x)在[1,1/a]为减函数,在[1/a,3]为增函数,且对x=1/a对称。
所以N(a)=f(1/a)=1-1/a
当a在[1/3,1/2]时,1/a在[2,3],|1-1/a|>|3-1/a|,所以,M(a)=f(1)=a-1
当a在[1/2,1]时,1/a在[1,2],|1-1/a|<|3-1/a|,所以,M(a)=f(3)=9a-5
所以
g(a)=M(a)-N(a)=a+1/a-2 [1/3,1/2]
9a+1/a-6 [1/2,1]
因为g'(a)=1-1/a*a [1/3,1/2]
9-1/a*a [1/2,1]
所以a在[1/3,1]时,0≤g'(a),所以g(a)在[1/3,1]上为增函数
所以a在[1/3,1]时,Min=g(1/3)=-2/3
不知此题为高中问题还是大学微积分问题,暂且用微积分方法给出解。
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