四棱锥p-ABCD中,PA垂直平面ABCD,且底面ABCD是直角梯形,AB垂直AD,AB垂直于BC,PA=AB=BC=1,AD=2,M是PD中点.求二面角M-AC-D的正切值.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/21 04:44:31
![四棱锥p-ABCD中,PA垂直平面ABCD,且底面ABCD是直角梯形,AB垂直AD,AB垂直于BC,PA=AB=BC=1,AD=2,M是PD中点.求二面角M-AC-D的正切值.](/uploads/image/z/15223922-26-2.jpg?t=%E5%9B%9B%E6%A3%B1%E9%94%A5p-ABCD%E4%B8%AD%2CPA%E5%9E%82%E7%9B%B4%E5%B9%B3%E9%9D%A2ABCD%2C%E4%B8%94%E5%BA%95%E9%9D%A2ABCD%E6%98%AF%E7%9B%B4%E8%A7%92%E6%A2%AF%E5%BD%A2%2CAB%E5%9E%82%E7%9B%B4AD%2CAB%E5%9E%82%E7%9B%B4%E4%BA%8EBC%2CPA%3DAB%3DBC%3D1%2CAD%3D2%2CM%E6%98%AFPD%E4%B8%AD%E7%82%B9.%E6%B1%82%E4%BA%8C%E9%9D%A2%E8%A7%92M-AC-D%E7%9A%84%E6%AD%A3%E5%88%87%E5%80%BC.)
四棱锥p-ABCD中,PA垂直平面ABCD,且底面ABCD是直角梯形,AB垂直AD,AB垂直于BC,PA=AB=BC=1,AD=2,M是PD中点.求二面角M-AC-D的正切值.
四棱锥p-ABCD中,PA垂直平面ABCD,且底面ABCD是直角梯形,AB垂直AD,AB垂直于BC,PA=AB=BC=1,AD=2,M是PD中点.求二面角M-AC-D的正切值.
四棱锥p-ABCD中,PA垂直平面ABCD,且底面ABCD是直角梯形,AB垂直AD,AB垂直于BC,PA=AB=BC=1,AD=2,M是PD中点.求二面角M-AC-D的正切值.
取AD的中点为N,连接MN,则MN∥PA,∵PA垂直平面ABCD,∴MN垂直平面ABCD,则ABCDN是正方形,连接BN,则BN⊥AC,又MN⊥AC,∴AC⊥平面BMN,设AC∩BN=O,则∠MON就是所求二面角M-AC-D的平面角,在∟⊿MON中,MN=0.5,ON=√2/2,
∴二面角M-AC-D的正切值=√2/2.
取AD中点O,连接OM、OC、AM、MC
∵M、O分别为PA、AD中点
∴PA∥OM、AB∥OC
∴OM⊥平面ABCD
∴OM⊥AD、OM⊥OC
AM=MC=根号5/2
∴△AMC为等腰三角形,取AC中点P、连接PM
则PM垂直AC
又∵AC=CD=根号2、AD=2、∴AC⊥CD
连接OP、可知CD∥OP、∴OP⊥AC
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取AD中点O,连接OM、OC、AM、MC
∵M、O分别为PA、AD中点
∴PA∥OM、AB∥OC
∴OM⊥平面ABCD
∴OM⊥AD、OM⊥OC
AM=MC=根号5/2
∴△AMC为等腰三角形,取AC中点P、连接PM
则PM垂直AC
又∵AC=CD=根号2、AD=2、∴AC⊥CD
连接OP、可知CD∥OP、∴OP⊥AC
∴tan∠MPO即为 所求,又OM⊥OP
∴tan∠MPO=OM/OP=根号2/2
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