已知a,b,c是三角形ABC的边长,求证:关于x的方程b^2x^2+(b^2+c^2-a^2)x+c^2=0没有实数根
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/21 05:55:08
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已知a,b,c是三角形ABC的边长,求证:关于x的方程b^2x^2+(b^2+c^2-a^2)x+c^2=0没有实数根
已知a,b,c是三角形ABC的边长,求证:关于x的方程b^2x^2+(b^2+c^2-a^2)x+c^2=0没有实数根
已知a,b,c是三角形ABC的边长,求证:关于x的方程b^2x^2+(b^2+c^2-a^2)x+c^2=0没有实数根
证法1:韦达定理加三角形常识
b^2x^2+(b^2+c^2-a^2)x+c^2=0
△=(b^2+c^2-a^2)^2-4b^2c^2=(b^2+c^2-a^2+2bc)(b^2+c^2-a^2-2bc)
=[(b+c)^2-a^2][(b-c)^2-a^2]
由于a,b,c是三角形ABC的边长
故(b+c)>a>0
0<|b-c|<a
故(b+c)^2>a^2
(b-c)^2<a^2
故(b+c)^2-a^2<0
(b-c)^2-a^2<0
故△=[(b+c)^2-a^2][(b-c)^2-a^2]<0
故关于x的方程b^2x^2+(b^2+c^2-a^2)x+c^2=0没有实数解
证法2:构造函数(如果二次函数图像定点在x轴以上,且开口向上,那么函数与x轴无交点,即方程无实根)
令f(x)=b^2x^2+(b^2+c^2-a^2)x+c^2
顶点y坐标=[4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2]/4b^2
讨论分子
4b^2c^2-(b^2+c^2-a^2)^2
=[(b+c)^2-a^2][a^2-(b-c)^2]
显然
b+c>a,(b+c)^2-a^2>0
b-c0
所以顶点y坐标大于0,开口向上在x轴上方,即函数图像与x轴无交点
故方程b^2x^2+(b^2+c^2-a^2)x+c^2=0没有实数根.