将f(x)=1/x²+4x+3展开成 x-1的幂级数

将f(x)=1/x²+4x+3展开成 x-1的幂级数
将f(x)=1/x²+4x+3展开成 x-1的幂级数

将f(x)=1/x²+4x+3展开成 x-1的幂级数
设x-1=u
则f(x)=1/(u^2+6u+8) =1/(u+2)(u+4)
=(1/2)*(1/(u+2)-1/(u+4))
=1/4(u/2+1)-1/8(u/4+1)
就公式1/(1+x)=1-x+x^2 ...+(-x)^n +.
可以得到答案f(x)=(1/4)*∑((1-x)/2)^n-(1/8)∑((1-x)/4)^n
n从0到+∞

(1)如果是1/（x²+4x+3）的话
1/（x²+4x+3）=1/(x+3)(x+1)=1/2 [1/(x+1)-1/(x+3)]
1/(x+1)=1/2-(1/2)^2(x-1)+(1/2)^3(1/2!)(x-1)^2+……+(-1)^n*(1/2)^(n+1) /n! (x-1)^n+........
1/(x+3)=1/4-(1/4)^2(x-...

全部展开

(1)如果是1/（x²+4x+3）的话
1/（x²+4x+3）=1/(x+3)(x+1)=1/2 [1/(x+1)-1/(x+3)]
1/(x+1)=1/2-(1/2)^2(x-1)+(1/2)^3(1/2!)(x-1)^2+……+(-1)^n*(1/2)^(n+1) /n! (x-1)^n+........
1/(x+3)=1/4-(1/4)^2(x-1)+(1/4)^3(1/2!)(x-1)^2+……+(-1)^n*(1/4)^(n+1) /n! (x-1)^n+........
(2)如果是1/x²+4x+3的话
y=1/x展开为
1/x=1-(x-1)+1/2!(x-1)^2+……+(-1)^n/n! (x-1)^n+........
所以1/x²=[1-(x-1)+1/2!(x-1)^2+……+(-1)^n/n! (x-1)^n+........]²
=1-2(x-1)+(1/2+1/2+1)(x-1)^2+……
=1-2(x-1)+2(x-1)^2+……
所以1/x²+4x+3=1/x²+4(x-1)+7
=8+2(x-1)+2(x-1)^2+……

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