已知数列{an}前n项和为Sn,且满足Sn+an=2n+1,(1)写出a1,a2,a3并推测出an的表达式,(2)用数学归纳法证明结论我证到n=k+1 了 然后怎么写
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/21 10:56:13
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已知数列{an}前n项和为Sn,且满足Sn+an=2n+1,(1)写出a1,a2,a3并推测出an的表达式,(2)用数学归纳法证明结论我证到n=k+1 了 然后怎么写
已知数列{an}前n项和为Sn,且满足Sn+an=2n+1,(1)写出a1,a2,a3并推测出an的表达式,(2)用数学归纳法证明结论
我证到n=k+1 了 然后怎么写
已知数列{an}前n项和为Sn,且满足Sn+an=2n+1,(1)写出a1,a2,a3并推测出an的表达式,(2)用数学归纳法证明结论我证到n=k+1 了 然后怎么写
猜测 an=2- 1/2^n
设n=k时,猜想成立,即猜测 ak=2- 1/2^k
求Sk=2k- 1/2^k - 1
令n=k+1,a(k+1)=2(k+1)+1-S(k+1)
=2(k+1)+1-[Sk+a(k+1)]
=2(k+1)+1-[2k- 1/2^k - 1 +a(k+1)]
所以 2a(k+1) =4-1/2^k
所以 a(k+1) =2-1/2^(k+1)
(1)n=1时s1+a1=3 得a1=3/2
n=2时s2+a2=5 a1+2a2=5 a2=7/4
n=3时s3+a3=7 a1+a2+2a3=7 a3=15/8
推测an=(2^n-1)/2^n
(2)证
由sn+an=2n+1
得sn=2n+1-an
s(n-1)=2n-1-a(n-1)
an=2-...
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(1)n=1时s1+a1=3 得a1=3/2
n=2时s2+a2=5 a1+2a2=5 a2=7/4
n=3时s3+a3=7 a1+a2+2a3=7 a3=15/8
推测an=(2^n-1)/2^n
(2)证
由sn+an=2n+1
得sn=2n+1-an
s(n-1)=2n-1-a(n-1)
an=2-an+a(n-1)
2an=2+a(n-1)
an=1+a(n-1)/2
当n=2时a2=1+a1/2=1+3/4=7/4成立
设当n=k时ak=1+a(k-1)/2成立
则n=k+1时a(n+1)=1+ak/2=1+(1+a(k-1)/2)/2
=1+(1+(2^(n-1)-1)/2^(n-1))/2)/2
=(2^(n+1)-1)/2^(n+1)成立。
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是这题吧?
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(1) a1=3/2 , a2=7/4 , a3=15/8 ,
猜测 an=2- 1/2^n
(2) ①由(1)已得当n=1时,命题成立;
②假设n=k时,命题成立,即 ak=2-1/2^k ,
当n=k+1时, a1+a2+……+ak+ak+1+ak...
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很高兴为您
(1) a1=3/2 , a2=7/4 , a3=15/8 ,
猜测 an=2- 1/2^n
(2) ①由(1)已得当n=1时,命题成立;
②假设n=k时,命题成立,即 ak=2-1/2^k ,
当n=k+1时, a1+a2+……+ak+ak+1+ak+1=2(k+1)+1,
且a1+a2+……+ak=2k+1-ak
∴2k+1-ak+2ak+1=2(k+1)+1=2k+3,
∴2ak+1=2+2-1/2^k , ak+1=2-1/2^k+1 ,
即当n=k+1时,命题成立.
根据①②得n∈N+ , an=2-1/2^n 都立
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