在数列{an}中,已知an=(n+1)*(10/11)^n,利用课本中推导等比数列前n项和公式的方法,求数列{an}的Sn?即用错位相减法
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/18 21:53:16
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在数列{an}中,已知an=(n+1)*(10/11)^n,利用课本中推导等比数列前n项和公式的方法,求数列{an}的Sn?即用错位相减法
在数列{an}中,已知an=(n+1)*(10/11)^n,利用课本中推导等比数列前n项和公式的方法,求数列{an}的Sn?
即用错位相减法
在数列{an}中,已知an=(n+1)*(10/11)^n,利用课本中推导等比数列前n项和公式的方法,求数列{an}的Sn?即用错位相减法
∵a(n)=(n+1)(10/11)^n=n(10/11)^n+(10/11)^n.
∴依次令上式中的n=1、2、3、4、······、n,依次得:
a(1)=1×(10/11)+(10/11),
a(2)=2×(10/11)^2+(10/11)^2,
a(3)=3×(10/11)^3+(10/11)^3,
a(4)=4×(10/11)^4+(10/11)^4,
······,
a(n)=n(10/11)^n+(10/11)^n.
将上述n个等式的左右分别相加,得:
a(1)+a(2)+a(3)+a(4)+······+a(n)
=[1×(10/11)+2×(10/11)^2+3×(10/11)^3+4×(10/11)^4+······+n(10/11)^n]
+[(10/11)+(10/11)^2+(10/11)^3+(10/11)^4+······+(10/11)^n].
令S=1×(10/11)+2×(10/11)^2+3×(10/11)^3+4×(10/11)^4+······+n(10/11)^n,
∴(10/11)S
=[1×(10/11)^2+2×(10/11)^3+3×(10/11)^4+······+(n-1)(10/11)^n]
+n(10/11)^(n+1),
∴S-(10/11)S
=[(10/11)+(10/11)^2+(10/11)^3+(10/11)^4+······+(10/11)^n]
-n(10/11)^(n+1).
∴S
=11×[(10/11)+(10/11)^2+(10/11)^3+(10/11)^4+······+(10/11)^n]
-11n(10/11)^(n+1).
∴a(1)+a(2)+a(3)+a(4)+······+a(n)
=12×[(10/11)+(10/11)^2+(10/11)^3+(10/11)^4+······+(10/11)^n]
-11n(10/11)^(n+1).
=12×(10/11)[1-(10/11)^n]/(1-10/11)-11n(10/11)^(n+1)
=12[1-(10/11)^n]-11n(10/11)^(n+1)
=12-12×(10/11)^n-10×(10/11)^n
=12-22×(10/11)^n.