已知函数f(x)=x²+bx+c(b、c∈R)若b、c满足c≥(b²/4)+1且f(c)-f(b)≤M(c²-b²)恒成立,则M的最小值为____.应该可以用基本不等式吧..
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/24 16:32:37
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已知函数f(x)=x²+bx+c(b、c∈R)若b、c满足c≥(b²/4)+1且f(c)-f(b)≤M(c²-b²)恒成立,则M的最小值为____.应该可以用基本不等式吧..
已知函数f(x)=x²+bx+c(b、c∈R)若b、c满足c≥(b²/4)+1且f(c)-f(b)≤M(c²-b²)恒成立,则M的最小值为____.
应该可以用基本不等式吧..
已知函数f(x)=x²+bx+c(b、c∈R)若b、c满足c≥(b²/4)+1且f(c)-f(b)≤M(c²-b²)恒成立,则M的最小值为____.应该可以用基本不等式吧..
f(c)-f(b)=c^2+bc-2b^2 c^2-b^2>=0 m>=(c^2+bc-2b^2)/(c^2-b^2) t=(c^2+bc-2b^2)/(c^2-b^2) =(c^2-b^2+bc-b^2)/(c^2-b^2)=1+(bc-b^2)/(c^2-b^2)=1+b/(c+b)=1+1/(c/b+1)求m的最小值就是c/b的最小值 由c^2>=b^2 c^2/b^2>=1 c/b>=1或 c/b=b^2/4+1 得c/b>=1 m>=1+1/(1+1)=3/2
f(c)-f(b)=c^2+bc+c-(b^2+b^2+c)=c^2-b^2+bc;
因为c≥(b²/4)+1,c^2-b^2≥[(b²/4)+1]^2-b^2=[(b²/4)-1]^2≥0;
当c^2-b^2=0时,原不等式为bc≤0,无M,故M为任意值;
当c^2-b^2>0时,将分离出M,得M≥1+bc/(c^2-b^2),左边的分式上下...
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f(c)-f(b)=c^2+bc+c-(b^2+b^2+c)=c^2-b^2+bc;
因为c≥(b²/4)+1,c^2-b^2≥[(b²/4)+1]^2-b^2=[(b²/4)-1]^2≥0;
当c^2-b^2=0时,原不等式为bc≤0,无M,故M为任意值;
当c^2-b^2>0时,将分离出M,得M≥1+bc/(c^2-b^2),左边的分式上下除以bc,得:
M≥1+1/(c/b-b/c),令c/b=t,M≥1+1/(c/b-b/c)= 1+1/(t-1/t);
由c≥(b²/4)+1,得t=c/b≥b/4+1/b≥(b/4*1/b)^1/2=2;
在由M≥1+1/(t-1/t)=y,y在t≥=2上单调递减,故y最大值在t=2取,为y=5/3;
所以M≥5/3,M最小值取5/3。
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