定义在非零实数集上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)且f(x)是区间(0,+∞)上的增函数求f(1),f(-1)的值;求证:f(-x)=f(x);解不等式f(2)+f(x-½)≤0
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/26 03:08:04
![定义在非零实数集上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)且f(x)是区间(0,+∞)上的增函数求f(1),f(-1)的值;求证:f(-x)=f(x);解不等式f(2)+f(x-½)≤0](/uploads/image/z/2690483-59-3.jpg?t=%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%9C%A8%E9%9D%9E%E9%9B%B6%E5%AE%9E%E6%95%B0%E9%9B%86%E4%B8%8A%E7%9A%84%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%E6%BB%A1%E8%B6%B3f%28xy%29%3Df%28x%29%2Bf%28y%29%E4%B8%94f%28x%29%E6%98%AF%E5%8C%BA%E9%97%B4%EF%BC%880%2C%2B%E2%88%9E%EF%BC%89%E4%B8%8A%E7%9A%84%E5%A2%9E%E5%87%BD%E6%95%B0%E6%B1%82f%281%29%2Cf%28-1%29%E7%9A%84%E5%80%BC%EF%BC%9B%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9Af%28-x%29%3Df%28x%29%EF%BC%9B%E8%A7%A3%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8Ff%282%29%2Bf%28x-%26%23189%3B%29%E2%89%A40)
定义在非零实数集上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)且f(x)是区间(0,+∞)上的增函数求f(1),f(-1)的值;求证:f(-x)=f(x);解不等式f(2)+f(x-½)≤0
定义在非零实数集上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)且f(x)是区间(0,+∞)上的增函数
求f(1),f(-1)的值;求证:f(-x)=f(x);解不等式f(2)+f(x-½)≤0
定义在非零实数集上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)且f(x)是区间(0,+∞)上的增函数求f(1),f(-1)的值;求证:f(-x)=f(x);解不等式f(2)+f(x-½)≤0
(1)令x=y=1,
带入函数式子f(xy)=f(x)+f(y)
得f(1)=f(1)+f(1),
解得f(1)=0;
令x=y=-1,
带入函数式子f(xy)=f(x)+f(y)
得f(1)=f(-1)+f(-1),
解得f(-1)=0.
(2)证明偶函数:
令y=-1,
带入f(xy)=f(x)+f(y)
得f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x),
即f(-x)=f(x).
(3)解不等式f(2)+f(x-1/2)≤0
因为f(x)是区间(0,+∞)的增函数,且f(-x)=f(x)符合偶函数关于y轴对称
f(2)+f(x-½)=f[2*(x-1/2)]=f(2x-1)≤0=f(1) (第一问解出来f(1)=0了,用f(-1)=0也行答案都一样)
所以:|2x-1|
(1)
x = 1,y = 1 代入得:f(1) = 2*f(1),故f(1) = 0;
x = -1,y = -1 代入得:f(1) = 0 = 2*f(-1),故f(-1) = 0;
(2)
y = -1 代入得:f(-x) = f(x) + f(-1),即f(-x) = f(x),函数是偶函数;
(3)
x = 2,y = 1/2 代入得:f(...
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(1)
x = 1,y = 1 代入得:f(1) = 2*f(1),故f(1) = 0;
x = -1,y = -1 代入得:f(1) = 0 = 2*f(-1),故f(-1) = 0;
(2)
y = -1 代入得:f(-x) = f(x) + f(-1),即f(-x) = f(x),函数是偶函数;
(3)
x = 2,y = 1/2 代入得:f(1) = 0 = f(2) + f(1/2) 即 f(2) = -f(1/2);代入最后一问得:
f(x-1/2) ≤ f(1/2) ,又因为f(x)是区间(0,+∞)上的增函数,故,当(x-1/2) > 0时,(x-1/2) ≤ 1/2,又因为f(x)是偶函数,根据对称性,上两个不等式改写为|x-1/2| > 0 且 |x-1/2| ≤ 1/2。解得[0,1/2)U(1/2,1]。
追加:看了2楼的答案,感觉他的第三问解法更顺应题目思路。两者答案应该是一样的。
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定义在非零实数集上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)且f(x)是区间(0,+∞)的增函数,(1)求f(1),f(-1)的值;(2)求证:f(-x)=f(x);(3)解不等式f(2)+f(x-½)≤0
(1)令x=y=1,带入f(xy)=f(x)+f(y)得f(1)=f(1)+f(1),解得f(1)=0;令x=y=-1,带入f(xy)=f(x)+f(y)得f(1)=f...
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定义在非零实数集上的函数f(x)满足f(xy)=f(x)+f(y)且f(x)是区间(0,+∞)的增函数,(1)求f(1),f(-1)的值;(2)求证:f(-x)=f(x);(3)解不等式f(2)+f(x-½)≤0
(1)令x=y=1,带入f(xy)=f(x)+f(y)得f(1)=f(1)+f(1),解得f(1)=0;令x=y=-1,带入f(xy)=f(x)+f(y)得f(1)=f(-1)+f(-1),解得f(-1)=0;
(2)证明:令y=-1,带入f(xy)=f(x)+f(y)得f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x),即f(-x)=f(x);
(3)解不等式f(2)+f(x-½)≤0,∵f(2)+f(x-½)=f(2x-1),∴f(2x-1)≤0,又∵f(x)是区间(0,+∞)的增函数,且f(-x)=f(x),∴f(x)是区间(-∞,0)的减函数,
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第三问答案好像错了吧,是0≤x≤1且x≠二分之一吧,这是非零实数集,正好同问此题,看到错误,补充一下,希望没造成提问者的困扰。