如果函数f(x)=2(m+1)x²+4mx+2m-1在(0,+∞)上至少有一个零点,求m的取值范围.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/24 16:35:55
![如果函数f(x)=2(m+1)x²+4mx+2m-1在(0,+∞)上至少有一个零点,求m的取值范围.](/uploads/image/z/2714204-20-4.jpg?t=%E5%A6%82%E6%9E%9C%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%3D2%28m%2B1%29x%26sup2%3B%2B4mx%2B2m-1%E5%9C%A8%280%2C%2B%E2%88%9E%29%E4%B8%8A%E8%87%B3%E5%B0%91%E6%9C%89%E4%B8%80%E4%B8%AA%E9%9B%B6%E7%82%B9%2C%E6%B1%82m%E7%9A%84%E5%8F%96%E5%80%BC%E8%8C%83%E5%9B%B4.)
如果函数f(x)=2(m+1)x²+4mx+2m-1在(0,+∞)上至少有一个零点,求m的取值范围.
如果函数f(x)=2(m+1)x²+4mx+2m-1在(0,+∞)上至少有一个零点,求m的取值范围.
如果函数f(x)=2(m+1)x²+4mx+2m-1在(0,+∞)上至少有一个零点,求m的取值范围.
分类讨论:
(1)当m+1=0,即m=-1时,f(x)=-4x-3,在(0,+∞)上无零点,舍去
(2)当m+1≠0时,f(x)是二次函数,
f(x)=2(m+1)x²+4mx+2m-1
首先要求f(x)=0有实数根,
△=16m²-8(m+1)(2m-1)≥0
2m²-(2m²+m-1)≥0
1-m≥0
∴m≤1且m≠-1
进一步分类:
1)两根有一根为0时,2m-1=0,m=1/2,f(x)=3x²+2x,另一根小于0,不符合题意,舍去
2)两根都为正时,根据韦达定理,得
-4m/[2(m+1)]>0,得-1<m<0
(2m-1)/[2(m+1)]>0,得m>1/2或m<-1
此时无解,舍去
3)两根中,一根为正,一根为负,则根据韦达定理,得
(2m-1)/[2(m+1)]<0
∴-1<m<1/2
综上所述,m的取值范围是:(-1,1/2)
分两种情况:
(1)为一次函数时:
即二次项系数为0,2(m+1)=0,m=-1
f(x)=-4x-3,为直线方程
令y=0,x=-3,不属于(0,+∞),舍弃!
(2)为二次函数,
二次项系数不为0,即m≠-1时
也分2种情况考虑:
a.开口向上
即m>-1,
令f(0)<0,则函数必在(0,+∞)上与x轴相交
全部展开
分两种情况:
(1)为一次函数时:
即二次项系数为0,2(m+1)=0,m=-1
f(x)=-4x-3,为直线方程
令y=0,x=-3,不属于(0,+∞),舍弃!
(2)为二次函数,
二次项系数不为0,即m≠-1时
也分2种情况考虑:
a.开口向上
即m>-1,
令f(0)<0,则函数必在(0,+∞)上与x轴相交
f(0)=2m-1<0,m<0.5
∴-1
m<-1,
令f(0)>0,则函数必在(0,+∞)上与x轴相交
f(0)=2m-1>0,m>0.5
矛盾。
综上:m∈(-1,0.5)
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判别式>=0 (4m)^2-4*2(m+1)*(2m-1)>= 1-m>=0 m<=1
亦即,方程2(m+1)x²+4mx+2m-1=0至少有一个正实数根。
m=-1时:方程只有一个解,x=-3/4,不符题目,排除;
m≠-1时:因为方程至少有一个正实数根,
所以 (4m)^2-4*2(m+1)(2m-1)>=0
8(1-m)>=0
m<=1(且m≠-1)
m=1时,方程只有一个实数根:-1/2,不符合题目要求,排除;
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亦即,方程2(m+1)x²+4mx+2m-1=0至少有一个正实数根。
m=-1时:方程只有一个解,x=-3/4,不符题目,排除;
m≠-1时:因为方程至少有一个正实数根,
所以 (4m)^2-4*2(m+1)(2m-1)>=0
8(1-m)>=0
m<=1(且m≠-1)
m=1时,方程只有一个实数根:-1/2,不符合题目要求,排除;
m<1且m≠-1时,方程有两个实数根,那么根据题目要求,可以为两个正实数根,也可以为一正一负,或一正一零
根据韦达定理:若为两个正根:
-4m/(2m+2)>0,(2m-1)/(2m+2)>0
解得:0
(2m-1)/(2m+2)<0
解得:-1
2m-1=0,m=1/2,此时另一个根为-2/3,排除;
因为:m<1且m≠-1
所以,最终m的范围就是:(-1,1/2)
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