椭圆x^2\a^+y^\b^2=1(a>b>0)的离心率为√3\2,椭圆与直线x+2y+8=0相交于点P,Q,且|PQ|=√10,求椭圆方程
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/25 01:42:09
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椭圆x^2\a^+y^\b^2=1(a>b>0)的离心率为√3\2,椭圆与直线x+2y+8=0相交于点P,Q,且|PQ|=√10,求椭圆方程
椭圆x^2\a^+y^\b^2=1(a>b>0)的离心率为√3\2,椭圆与直线x+2y+8=0相交于点P,Q,且|PQ|=√10,求椭圆方程
椭圆x^2\a^+y^\b^2=1(a>b>0)的离心率为√3\2,椭圆与直线x+2y+8=0相交于点P,Q,且|PQ|=√10,求椭圆方程
∵e=c/a=√3/2,∴4c^2=3a^2,∴4(a^2-b^2)=3a^2,∴a^2=4b^2.
联立:x^2/a^2+y^2/b^2=1、x+2y+8=0,消去x,得:(-2y-8)^2/a^2+y^2/b^2=1,
∴4(y+4)^2/(4b^2)+y^2/b^2=1,∴(y+4)^2+y^2=b^2,
∴2y^2+8y+16-b^2=0.
∵P、Q都在直线x+2y+8=0上,
∴可设P、Q的坐标分别是(-2m-8,m)、(-2n-8,n).
显然,m、n是方程2y^2+8y+16-b^2=0的两根,∴由韦达定理,有:
m+n=-4、mn=(16-b^2)/2.
∵|PQ|=√10,∴√[(-2m-8+2n+8)^2+(m-n)^2]=√10,
∴√[5(m-n)^2]=√10,∴√[(m+n)^2-4mn]=√2,
∴(-4)^2-4(16-b^2)/2=2,∴8-(16-b^2)=1,∴b^2=1+16-8=9,∴a^2=36.
∴满足条件的椭圆方程是:x^2/36+y^2/9=1.