已知函数f(x)=x^2-2ax+a+2,a属于R (1)若不等式f(x)<0的解集为∅,求实数a的取值范围(2)若不等式f(x)≥a对于x∈[0,正无穷)恒成立,求实数a的取值范围
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/20 18:45:46
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已知函数f(x)=x^2-2ax+a+2,a属于R (1)若不等式f(x)<0的解集为∅,求实数a的取值范围(2)若不等式f(x)≥a对于x∈[0,正无穷)恒成立,求实数a的取值范围
已知函数f(x)=x^2-2ax+a+2,a属于R (1)若不等式f(x)<0的解集为∅,求实数a的取值范围
(2)若不等式f(x)≥a对于x∈[0,正无穷)恒成立,求实数a的取值范围
已知函数f(x)=x^2-2ax+a+2,a属于R (1)若不等式f(x)<0的解集为∅,求实数a的取值范围(2)若不等式f(x)≥a对于x∈[0,正无穷)恒成立,求实数a的取值范围
f(x)=x^2-2ax+a+2=(x-a)^2+a+2-a^2
(1)a+2-a^2≥0,即(a+1)(a-2)≤0,解得:-1≤a≤2
所以实数a的取值范围为[-1,2]
(2)f(x)=x^2-2ax+a+2≥a对于x∈[0,+∞)恒成立
即x^2-2ax+2≥0对于x∈[0,+∞)恒成立
即x^2+2≥2ax对于x∈[0,+∞)恒成立
即a≤(x^2+2)/(2x)对于x∈[0,+∞)恒成立
那么就要求a小于等于(x^2+2)/(2x)在x∈[0,+∞)上的最小值
而y=(x^2+2)/(2x)=(x/2)+(1/x)≥2√(x/2)*(1/x)=√2,当且仅当x/2=1/x,即x=√2时取等
所以y=(x^2+2)/(2x)在x∈[0,+∞)上的最小值为√2,所以a≤√2
所以实数a的取值范围为(-∞,√2]
(-2a)^2-4*(a+2)=4a^2-4a-8≥0
a^2-a-2≥0
(a-2)(a+1)≥0
a>2或a<-1
(1) Δ﹥=0;4a²-4(a+2)>=0 得a<=-1或a>=2
(2)①a<0时,f(0)>=0;得a∈R;得a<0;
②a>=0时,f(a)>=0;得0<=a<=√2
综上,a<=√2;
(1)b^2-4ac<=0
4(a^2)-4(a+2)<=0
(a+1)(a-2)<=0
a属于(负无穷,-1)并上(2,正无穷)