若当x∈(0,1/2)时,不等式x²+x<logax恒成立,则实数a取值范围是
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/20 17:17:01
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若当x∈(0,1/2)时,不等式x²+x<logax恒成立,则实数a取值范围是
若当x∈(0,1/2)时,不等式x²+x<logax恒成立,则实数a取值范围是
若当x∈(0,1/2)时,不等式x²+x<logax恒成立,则实数a取值范围是
[[1]]
易知,a>0,且a≠1
当x∈(0,1/2)时,
易知,恒有x²+x>0.
又logax=(lnx)/(lna).(换底公式)
此时lnx<0.结合题设
0<x²+x<logax=(lnx)/(lna)
可知,lna<0
∴应有0<a<1.
[[2]]
构造函数f(x)=x²+x,g(x)=-logax.h(x)=f(x)+g(x).(0<x<1/2)
易知,在区间(0,1/2)上,函数f(x),g(x)均是递增函数,
∴函数h(x)=f(x)+g(x)在区间(0,1/2)上是递增函数.
由题设可知,函数h(x)在区间(0,1/2)上恒有h(x)<0.
∴必有h(1/2)≤0.
即有(1/4)+(1/2)-loga(1/2)≤0.
整理就是(3/4)≤(ln1/2)/lna
lna≥(4/3)ln(1/2)=ln[(1/2)^(4/3)]
∴(1/2)^(4/3)≤a<1
当x∈(0,1/2)时2^x-logaX<0
所以0则logaX为减函数
=>-logaX为增函数,又因2^x为增函数
所以x∈(0,1/2),f(x)=2^x-logaX为增函数
则f(x)
a>=2^(-√2/2)
综上所述 2^(-√2/2)
我是初一的学生,没学过,不太懂,来蹭个分