若f(x)是定义在R上的函数,f(0)=1,并且对于任意的实数x,y 总有f(x+y/2)=f(x)+y(2x+y+1),求f(x)的解析式.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/20 11:18:18
![若f(x)是定义在R上的函数,f(0)=1,并且对于任意的实数x,y 总有f(x+y/2)=f(x)+y(2x+y+1),求f(x)的解析式.](/uploads/image/z/3619313-17-3.jpg?t=%E8%8B%A5f%28x%29%E6%98%AF%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%9C%A8R%E4%B8%8A%E7%9A%84%E5%87%BD%E6%95%B0%2Cf%280%29%3D1%2C%E5%B9%B6%E4%B8%94%E5%AF%B9%E4%BA%8E%E4%BB%BB%E6%84%8F%E7%9A%84%E5%AE%9E%E6%95%B0x%2Cy+%E6%80%BB%E6%9C%89f%28x%2By%2F2%29%3Df%28x%29%2By%282x%2By%2B1%29%2C%E6%B1%82f%28x%29%E7%9A%84%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%BC%8F.)
若f(x)是定义在R上的函数,f(0)=1,并且对于任意的实数x,y 总有f(x+y/2)=f(x)+y(2x+y+1),求f(x)的解析式.
若f(x)是定义在R上的函数,f(0)=1,并且对于任意的实数x,y 总有f(x+y/2)=f(x)+y(2x+y+1),求f(x)的解析式.
若f(x)是定义在R上的函数,f(0)=1,并且对于任意的实数x,y 总有f(x+y/2)=f(x)+y(2x+y+1),求f(x)的解析式.
在f(x+y/2)=f(x)+y(2x+y+1)中,令x=0,得
f(y/2)=f(0)+y(y+1)=y²+y+1
再令y/2=x,得
f(x)=4x²+2x+1
注:如果严格推敲,等式 f(x+y/2)=f(x)+y(2x+y+1)不可能对任意的x,y都成立.理由如下.
在式子中令,y=-4x,则 上式变为
f(-x)=f(x)-4x(-2x+1) (1)
即(1)式对所有的x∈R都成立
在(1)式中用-x替换x,得
f(x)=f(-x) +4x(2x+1) (2)
所以(2)式对所有的x∈R都成立
(1)+(2)得
f(-x)+f(x)=f(x)+f(-x)+16x² (3)
即(3)式也对任意的x∈R都成立,但这显然是不可能的,
因为(3)式就是16x²=0,它只有在x=0时才成立.
f(x+y/2)=f(x)+y(2x+y+1)
令y=-2x
f(0)=f(x)+(-2x)(2x-2x+1)
=f(x)+(-2x)(2x+(-2x)+1)
=f(x)-2x=1
故 f(x)=2x+1谢谢,你的答案与书上的答案完全一致,我是这样做的:在f(x+y/2)=f(x)+y(2x+y+1)中,令x=0,得 f(y/2)=f(0)+y(y+1)=...
全部展开
f(x+y/2)=f(x)+y(2x+y+1)
令y=-2x
f(0)=f(x)+(-2x)(2x-2x+1)
=f(x)+(-2x)(2x+(-2x)+1)
=f(x)-2x=1
故 f(x)=2x+1
收起
直接令x=0,代入f(x+y/2)=f(x)+y(2x+y+1) 得到f(y/2)=1+y^2+y
在令y/2=t ,y=2t; 故,f(t)=4t^2+2t+1:再把t换成x就可以了
希望可以帮助你!
令x=-y/2.
得:f(0)=f(-y/2)+y=1
f(-y/2)=1-y=2(0.5--y/2)
所以f(x)=2(0.5--x)