正实数a、b、c满足a+b+c=1,求(a+1/a)(b+1/b)(c+1/c)的最小值.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/22 07:13:33
![正实数a、b、c满足a+b+c=1,求(a+1/a)(b+1/b)(c+1/c)的最小值.](/uploads/image/z/3620656-64-6.jpg?t=%E6%AD%A3%E5%AE%9E%E6%95%B0a%E3%80%81b%E3%80%81c%E6%BB%A1%E8%B6%B3a%2Bb%2Bc%3D1%2C%E6%B1%82%28a%2B1%2Fa%29%28b%2B1%2Fb%29%28c%2B1%2Fc%29%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%80%BC.)
正实数a、b、c满足a+b+c=1,求(a+1/a)(b+1/b)(c+1/c)的最小值.
正实数a、b、c满足a+b+c=1,求(a+1/a)(b+1/b)(c+1/c)的最小值.
正实数a、b、c满足a+b+c=1,求(a+1/a)(b+1/b)(c+1/c)的最小值.
∵正实数a、b、c满足a+b+c=1,
由均值不等式,a+1/a=a+1/(9a)*9
=10*[(1/(3^18*a^8)]^0.1
=10*3^(-1.8)*a^(-0.8),余者类推,
∴(a+1/a)(b+1/b)(c+1/c)
=10^3*3^(-5.4)*(abc)^(-0.8)
=10^3*3^(-5.4)*3^(2.4)=1000/27,
当a=b=c=1/3时取等号,
∴(a+1/a)(b+1/b)(c+1/c)的最小值是1000/27.
而x+1/x在(0,1/27]是减函数,