已知△ABC,分别以AB,AC为边在△ABC外侧作△ABD和△ACE,使AB=AD,AC=AE且∠BAD=∠EAC,BE与CD交于点P 当∠BAD=90°时,若∠BAC=45°,∠BAP=30°,BD=2,求CD的长.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/22 19:20:45
![已知△ABC,分别以AB,AC为边在△ABC外侧作△ABD和△ACE,使AB=AD,AC=AE且∠BAD=∠EAC,BE与CD交于点P 当∠BAD=90°时,若∠BAC=45°,∠BAP=30°,BD=2,求CD的长.](/uploads/image/z/3847662-54-2.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E2%96%B3ABC%2C%E5%88%86%E5%88%AB%E4%BB%A5AB%2CAC%E4%B8%BA%E8%BE%B9%E5%9C%A8%E2%96%B3ABC%E5%A4%96%E4%BE%A7%E4%BD%9C%E2%96%B3ABD%E5%92%8C%E2%96%B3ACE%2C%E4%BD%BFAB%3DAD%2CAC%3DAE%E4%B8%94%E2%88%A0BAD%3D%E2%88%A0EAC%2CBE%E4%B8%8ECD%E4%BA%A4%E4%BA%8E%E7%82%B9P+%E5%BD%93%E2%88%A0BAD%3D90%C2%B0%E6%97%B6%2C%E8%8B%A5%E2%88%A0BAC%3D45%C2%B0%2C%E2%88%A0BAP%3D30%C2%B0%2CBD%3D2%2C%E6%B1%82CD%E7%9A%84%E9%95%BF.)
已知△ABC,分别以AB,AC为边在△ABC外侧作△ABD和△ACE,使AB=AD,AC=AE且∠BAD=∠EAC,BE与CD交于点P 当∠BAD=90°时,若∠BAC=45°,∠BAP=30°,BD=2,求CD的长.
已知△ABC,分别以AB,AC为边在△ABC外侧作△ABD和△ACE,使AB=AD,AC=AE且∠BAD=∠EAC,BE与CD交于点P
当∠BAD=90°时,若∠BAC=45°,∠BAP=30°,BD=2,求CD的长.
已知△ABC,分别以AB,AC为边在△ABC外侧作△ABD和△ACE,使AB=AD,AC=AE且∠BAD=∠EAC,BE与CD交于点P 当∠BAD=90°时,若∠BAC=45°,∠BAP=30°,BD=2,求CD的长.
解:∵∠DAB=∠CAE=90°;∠BAC=45°.
∴∠DAC=∠BAE=135°;又DA=BA,AC=AE.
∴⊿DAC≌⊿BAE(SAS),得:BE=DC;∠ADC=∠ABE.
把AB与PD的交点记为点O,∠AOD=∠POB,由三角形内角和为180度可知:∠OPB=∠OAD=90度.
BE=DC,则点A到BE和DC的距离相等.(全等三角形对应边上的高相等)
∴∠APO=∠APE=45°.(到角两边距离相等的点在这个角的平分线上)
∵∠APE=∠BAP+∠ABP,即45°=30°+∠ABP.
∴∠ADC=∠ABP=15°.
∵∠DAC=∠DAB+∠BAC=135°;∠DAE=360°-∠DAC-∠CAE=135°.
∴∠DAC=∠DAE;又AD=AD,AC=AE.则⊿DAC≌⊿DAE(SAS),CD=ED;∠ADE=∠ADC=15°.
故∠BDE=∠BDA+∠ADE=(45+15)=60°;
同理可证:⊿DAE≌⊿BAE(SAS),DE=BE.
∴⊿BDE为等边三角形,得:ED=BD=2,所以CD=DE=2.(等量代换)