已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),且a,b满足关系|ka+b|=√3|a-kb|(k为正实数).(1)求证:(a+b)⊥(a-b)(2)求将a与b的数量积用k表示的解析式f(k),求出f(k);(3)求函数f(k)的最小值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/26 03:38:34
![已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),且a,b满足关系|ka+b|=√3|a-kb|(k为正实数).(1)求证:(a+b)⊥(a-b)(2)求将a与b的数量积用k表示的解析式f(k),求出f(k);(3)求函数f(k)的最小值](/uploads/image/z/3849506-26-6.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%90%91%E9%87%8Fa%3D%28cos%CE%B1%2Csin%CE%B1%29%2Cb%3D%28cos%CE%B2%2Csin%CE%B2%29%2C%E4%B8%94a%2Cb%E6%BB%A1%E8%B6%B3%E5%85%B3%E7%B3%BB%7Cka%2Bb%7C%3D%E2%88%9A3%7Ca-kb%7C%EF%BC%88k%E4%B8%BA%E6%AD%A3%E5%AE%9E%E6%95%B0%EF%BC%89.%EF%BC%881%EF%BC%89%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9A%EF%BC%88a%2Bb%EF%BC%89%E2%8A%A5%EF%BC%88a-b%EF%BC%89%EF%BC%882%EF%BC%89%E6%B1%82%E5%B0%86a%E4%B8%8Eb%E7%9A%84%E6%95%B0%E9%87%8F%E7%A7%AF%E7%94%A8k%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E7%9A%84%E8%A7%A3%E6%9E%90%E5%BC%8Ff%EF%BC%88k%EF%BC%89%2C%E6%B1%82%E5%87%BAf%EF%BC%88k%EF%BC%89%EF%BC%9B%EF%BC%883%EF%BC%89%E6%B1%82%E5%87%BD%E6%95%B0f%EF%BC%88k%EF%BC%89%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%80%BC)
已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),且a,b满足关系|ka+b|=√3|a-kb|(k为正实数).(1)求证:(a+b)⊥(a-b)(2)求将a与b的数量积用k表示的解析式f(k),求出f(k);(3)求函数f(k)的最小值
已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),且a,b满足关系|ka+b|=√3|a-kb|(k为正实数).
(1)求证:(a+b)⊥(a-b)
(2)求将a与b的数量积用k表示的解析式f(k),求出f(k);
(3)求函数f(k)的最小值及取得最小值时a与b的夹角θ.
已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),且a,b满足关系|ka+b|=√3|a-kb|(k为正实数).(1)求证:(a+b)⊥(a-b)(2)求将a与b的数量积用k表示的解析式f(k),求出f(k);(3)求函数f(k)的最小值
(1)∵a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)
∴ |a|=√(cos²α+sin²α)=1
|b|=√(cos²β+sin²β)=1
∴ (a+b).(a-b)=a²-b²=1-1=0
∴ (a+b)⊥(a-b)
(2)∵a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)
∴ a.b=cosαcosβ+sinαsinβ=cos(α-β),|a|=|b|=1
又 |ka+b|=√3|a-kb|
∴ |ka|²+|b|²+2ka.b=3(|a|²+|kb|²-2ka.b)
∴ k²+1+2kcos(α-β)=3[1+k²-2k(cosα-β)]
∴ 2k²-8kcos(α-β)+2=0
∴ cos(α-β)=(k²+1)/(4k)
即f(k)=(k²+1)/(4k)
(3) f(k)=(k+1/k)/4≥2*√[k*(1/k)]/4=1/2
当且仅当k=1时等号成立
此时cos(α-β)=1/2
∴ a与b的夹角θ是60°