作业帮已知抛物线y^2=4x的焦点为F,过F的直线交抛物线于A,B两点.(1)若AF→=2FB→,求直线AB的斜率.(2)设点M在线段AB上运动,原点O关于点M的对称点C,求四边形OACB面积的最小值.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 05:14:38
已知抛物线y^2=4x的焦点为F,过F的直线交抛物线于A,B两点.(1)若AF→=2FB→,求直线AB的斜率.(2)设点M在线段AB上运动,原点O关于点M的对称点C,求四边形OACB面积的最小值.
已知抛物线y^2=4x的焦点为F,过F的直线交抛物线于A,B两点.
(1)若AF→=2FB→,求直线AB的斜率.
(2)设点M在线段AB上运动,原点O关于点M的对称点C,求四边形OACB面积的最小值.
已知抛物线y^2=4x的焦点为F,过F的直线交抛物线于A,B两点.(1)若AF→=2FB→,求直线AB的斜率.(2)设点M在线段AB上运动,原点O关于点M的对称点C,求四边形OACB面积的最小值.
答：注意下面的参考解答中倒数几行根号内有错误：
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答：
1）
由题意得到F(1,0),则设AB方程是x=my+1
代入到y^2=4x,
y^2-4my-4=0
y1+y2=4m,y1y2=-4.
因为向量AF=2FB,
得到(1-x1,-y1)=2(x2-1,y2)
即有y1=-2y2代入到上面得到y2=土√2,则有y1=(-/+)2√2故有m=土√2/4
即AB的斜率k=1/m=土2√2.
(ii)
C和O关于M对称,则有M是OC中点,则有O,C到AB的距离相等.故有：
S(OACB)=2S(AOB)
=2*1/2OF*|Y1-Y2|
=1*√[(Y1+Y2)^2-4Y1Y2]
=√[(4m)^2-4*(-4)]
=4√(1+m^2)
故当m=0时,面积有最小值是：4
由题意得到F(1,0),
则设AB方程是x=my+1
代入到y^2=4x,y^2-4my-4=0y1+y2=4m,y1y2=-4.
因为向量AF=2FB,得到(1-x1,-y1)=2(x2-1,y2),
即有y1=-2y2
代入到上面得到y2=土根号2,
则有y1=(-/+)2根号2
故有m=土根号2/4
即AB的斜率k=1/m=土2...
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由题意得到F(1,0),
则设AB方程是x=my+1
代入到y^2=4x,y^2-4my-4=0y1+y2=4m,y1y2=-4.
因为向量AF=2FB,得到(1-x1,-y1)=2(x2-1,y2),
即有y1=-2y2
代入到上面得到y2=土根号2,
则有y1=(-/+)2根号2
故有m=土根号2/4
即AB的斜率k=1/m=土2根号2
.(ii)C和O关于M对称,
则有M是OC中点,则有O,C到AB的距离相等.
故有S(OACB)=2S(AOB)=2*1/2OF*|Y1-Y2|=根号[(Y1+Y2)^2-Y1Y2]=4根号(1+m^2)
故当m=0时,面积有最小值是:4
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