如图 已知Rt△ABC中,AB=AC D是 BC的中点 且∠FGE=45° F ,E是AB上两点,G是DF,CE的交点,P是AD,CE的交点 求:AG⊥CE.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/20 11:20:38
![如图 已知Rt△ABC中,AB=AC D是 BC的中点 且∠FGE=45° F ,E是AB上两点,G是DF,CE的交点,P是AD,CE的交点 求:AG⊥CE.](/uploads/image/z/5261478-6-8.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE+%E5%B7%B2%E7%9F%A5Rt%E2%96%B3ABC%E4%B8%AD%2CAB%3DAC+D%E6%98%AF+BC%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%82%B9+%E4%B8%94%E2%88%A0FGE%3D45%C2%B0+F+%2CE%E6%98%AFAB%E4%B8%8A%E4%B8%A4%E7%82%B9%2CG%E6%98%AFDF%2CCE%E7%9A%84%E4%BA%A4%E7%82%B9%2CP%E6%98%AFAD%2CCE%E7%9A%84%E4%BA%A4%E7%82%B9+%E6%B1%82%EF%BC%9AAG%E2%8A%A5CE.)
如图 已知Rt△ABC中,AB=AC D是 BC的中点 且∠FGE=45° F ,E是AB上两点,G是DF,CE的交点,P是AD,CE的交点 求:AG⊥CE.
如图 已知Rt△ABC中,AB=AC D是 BC的中点 且∠FGE=45° F ,E是AB上两点,G是DF,CE的交点,P是AD,CE的交点
求:AG⊥CE
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如图 已知Rt△ABC中,AB=AC D是 BC的中点 且∠FGE=45° F ,E是AB上两点,G是DF,CE的交点,P是AD,CE的交点 求:AG⊥CE.
四点共圆是最简单的方法:
∵∠CGD=∠FGE=45°=∠CAD
∴C、A、G、D四点共圆
∴∠CGA=∠CDA=90°
∴AG⊥CE
没学四点共圆也可以证:
∵∠CGD=∠FGE=45°=∠CAP
∴△CAP∽△DGP
∴CP/DP=AP/GP
∴CP/AP=DP/GP
∵∠CPD=∠APG
∴△CPD∽△APG
∴∠AGP=∠CDP=90°
∴AG⊥CE
在⊿BEC和⊿CDG中,∠ECB=∠DCG,∠FGE=45°=∠B
∴∠CDG=∠BEC, 即⊿BEC∽⊿CDG
∴CD/CG=CE/BC,CG*CE= CD*BC
∵D为BC中点,∴BC=2CD
又∵⊿ABC为等腰直角三角形,∴AB=√2CD
即CG*CE=2CD²=(√2CD)²=AB²
∴CG/BA=BA/CE<...
全部展开
在⊿BEC和⊿CDG中,∠ECB=∠DCG,∠FGE=45°=∠B
∴∠CDG=∠BEC, 即⊿BEC∽⊿CDG
∴CD/CG=CE/BC,CG*CE= CD*BC
∵D为BC中点,∴BC=2CD
又∵⊿ABC为等腰直角三角形,∴AB=√2CD
即CG*CE=2CD²=(√2CD)²=AB²
∴CG/BA=BA/CE
在⊿CAE和⊿CGA中, ∠ACE=∠ACG
∴⊿CAE∽⊿CGA,即∠CAE=∠CGA=90°
∴AG垂直BE
收起
图不清楚
角CGD=45 所以角GCD+角ADG=45 所以角ACE=角ADF 所以CAGD四点共圆 所以角CDA=角CGA=90度 AG⊥CE
第一种方法很复杂,不过能看懂就会有很大收获,第三种方法好,四点共圆的方法已经在初中教材删去。建议使用第三种方法,认真看懂第一种方法。
延长AC、PD交于点E
由角BAC=PCD=90度,得角ABC+ACB=DCE+ACB
得角ABC=DCE=APD。
在四边形APDC中,角DCE=APD,得APDC是圆内接四边形
所以,角PAD=PCD=90度=BAC
因角APD=ABC,得三角形APD与ABC相似
所以,在RT三角形ABC中,cos∠ABC=AB:BC=AP:PD。