作业帮已知椭圆Cx^2/9+y^2/8=1的左右两个焦点分别为F1F2,过F1作一直线交椭圆C于AB两点1 求三角形ABF2面积的最大值2 求三角形ABF2面积取得最大值时tanF1AF2的值 （要详细过程）
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/09 11:36:41
已知椭圆Cx^2/9+y^2/8=1的左右两个焦点分别为F1F2,过F1作一直线交椭圆C于AB两点1 求三角形ABF2面积的最大值2 求三角形ABF2面积取得最大值时tanF1AF2的值 （要详细过程）
已知椭圆Cx^2/9+y^2/8=1的左右两个焦点分别为F1F2,过F1作一直线交椭圆C于AB两点
1 求三角形ABF2面积的最大值
2 求三角形ABF2面积取得最大值时tanF1AF2的值
（要详细过程）
已知椭圆Cx^2/9+y^2/8=1的左右两个焦点分别为F1F2,过F1作一直线交椭圆C于AB两点1 求三角形ABF2面积的最大值2 求三角形ABF2面积取得最大值时tanF1AF2的值 （要详细过程）
1. 面积最大值为16/3.
a=√9=3,b=√8=2√2,c=√(a²-b²)=1,故|F1F2|=2c=2.
过F1的直线方程为：x+1=ay（这么设是为了顾及a=0即与x轴垂直的情况）,设方程与椭圆交点A(x1,y1), B(x2,y2),显然y1和y2是异号的.
S△ABF2=S△AF1F2+S△BF1F2
=|F1F2|*|y1|/2 + |F1F2|*|y2|/2
=|y1|+|y2|
=|y1-y2|
(ay-1)²/9+y²/8=1,得(8a²+9)y²-16ay-64=0.
故y1+y2=16a/(8a²+9),y1y2=-64/(8a²+9).
这个64x+1/x的函数,在x=1/8时最小,然后x增加它就递增.因为a²+1>1,所以|a|递增后,分母递增,因此面积是递减的.所以a=0时（直线与x轴垂直）,面积最大,等于16/3.两个点是A(-1,8/3)和B(-1,-8/3).
2. tan F1AF2 = 3/4.
此时AF1F2是直角三角形,tan F1AF2=|F1F2|/|AF1|=2/(8/3)=3/4.
椭圆的2个焦点：c²=a²-b²=9-8=1,所以F1(-1,0), F2(1,0)
过F1的直线方程为：y=k(x+1)，设方程与椭圆交点A(x1,y1), B(x2,y2)
S△ABF2=S△AF1F2+S△BF1F2
=|F1F2|*|y1|/2 + |F1F2|*|y2|/2
=|y1|+|y2|
很显然，当y1,y2取...
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椭圆的2个焦点：c²=a²-b²=9-8=1,所以F1(-1,0), F2(1,0)
过F1的直线方程为：y=k(x+1)，设方程与椭圆交点A(x1,y1), B(x2,y2)
S△ABF2=S△AF1F2+S△BF1F2
=|F1F2|*|y1|/2 + |F1F2|*|y2|/2
=|y1|+|y2|
很显然，当y1,y2取最大值时，S△ABF2面积最大。
而y1,y2最大，分别为y轴与椭圆两个交点，即y=±2√2
所以此时S△ABF2 = 2√2+ 2√2= 4√2
(2)由(1)解，面积最大时，tan(F1AF2/2) = OF2/OA = 1/2√2=√2/4
所以tan(F1AF2) = 2tan(F1AF2/2)/(1-tan²(F1AF2/2))=4√2/7
不好意思，做错了，忘了直线过F1这个条件了。
(1)而y1,y2最大，分别为直线x=-1与椭圆两个交点，即y=±8/3
此时三角形面积为:S△ABF2=8/3 + 8/3=16/3
(2)由于面积最大时，AF1⊥x轴,所以△AF1F2为Rt△
tan∠F1AF2=|F1F2|/AF1 = 2/(8/3) = 3/4
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