作业帮请教一道等差数列题证明:在等差数列{an}中,若a10=0,则有等式a1+a2+...+an=a1+a2+...+a19-n(n
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/25 18:50:40
请教一道等差数列题证明:在等差数列{an}中,若a10=0,则有等式a1+a2+...+an=a1+a2+...+a19-n(n
请教一道等差数列题
证明:在等差数列{an}中,若a10=0,则有等式a1+a2+...+an=a1+a2+...+a19-n(n
请教一道等差数列题证明:在等差数列{an}中,若a10=0,则有等式a1+a2+...+an=a1+a2+...+a19-n(n
已知:等差数列{an}中,a(k)=0
求证：a1+a2+...+ar=a1+a2+...+a(2k-1-r) (r
因为
a10=0
所以
a1+9d=0,(d为公差）
所以
a1=-9d
令等式a1+a2+...+an=a1+a2+...+a19-n成立
则，
na1+n(n+1)d/2=(19-n)a1+(19-n)(18-n)d/2
因为
a1=-9d
所以
-nd+n(n+1)d/2=-(19-n)d+(19...
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因为
a10=0
所以
a1+9d=0,(d为公差）
所以
a1=-9d
令等式a1+a2+...+an=a1+a2+...+a19-n成立
则，
na1+n(n+1)d/2=(19-n)a1+(19-n)(18-n)d/2
因为
a1=-9d
所以
-nd+n(n+1)d/2=-(19-n)d+(19-n)(18-n)d/2
化简得
0=0
所以
a1+a2+...+an=a1+a2+...+a19-n成立
且n为1到18时均成立
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分析：用一般到特殊的思考方法。a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n不好理解,不妨假定,n=18，这时上面的等式变为:a2+a3+…+a17+a18=0，a2+a18=a3+a17=…=a9+a11=2a10=0，可以看出题目条件中给出的等式是等差中项的变形,这是问题的实质。
若给出a9=0,可以引出:
a1+a17=a2+a16=a3+a15=…=a8+a10=...
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分析：用一般到特殊的思考方法。a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n不好理解,不妨假定,n=18，这时上面的等式变为:a2+a3+…+a17+a18=0，a2+a18=a3+a17=…=a9+a11=2a10=0，可以看出题目条件中给出的等式是等差中项的变形,这是问题的实质。
若给出a9=0,可以引出:
a1+a17=a2+a16=a3+a15=…=a8+a10=2a9=0
那么应有下面的等式:
a1+a2+…+an=a1+a2+…+a17-n
类比等比数列:
b9=1,b1·b17=b2·b16=…=b8·b10=b92=1。
∴b1·b2……bn=b1·b2……b17-n(n<17,n∈N)
注：灵活运用等差、等比中项是数列问题中的重要内容，下面的结论有助于这种灵活应用。若p、q、m、n均为正整数,且p+q=m+n,在等差数列中有ap+aq=am+an；在等比数列中，ap·aq=am·an
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