已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的点p到左焦点的距离等于到右准线的距离,求此椭圆的离心率e的最小值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/21 09:27:24
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已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的点p到左焦点的距离等于到右准线的距离,求此椭圆的离心率e的最小值
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的点p到左焦点的距离等于到右准线的距离,求此椭圆的离心率e的最小值
已知椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的点p到左焦点的距离等于到右准线的距离,求此椭圆的离心率e的最小值
设P到右准线的距离为d,则有|PF1|=d,|PF2|=ed 且
d≥a²/c - a (1)
由 |PF1|+|PF2|=2a 得
d+ed=2a
d(1+e)=2a
由于d≥a²/c - a ,所以
(a²/c - a)(1+e)≤2a
(1/e -1)(1+e)≤2
e²+2e-1≥0
从而 √2 -1≤e
令P(x,y),则P到左焦点的距离为(a+ex),到右准线x=a^2/c的距离为(a^2/c-x)
所以a+ex=a^2/c-x,即x=[a(1-e)]/[e(1+e)]≤a.
所以e^2+2e-1≥0,解之得:1≥e≥[√2-1]/2,(另一个值为负值,舍去)
可设左右焦点分别为F1, F2.
且设点P的横坐标为x,
[[1]]由椭圆第一定义可知
PF1+PF2=2a.
∴PF1=2a-PF2.
[[2]]
易知,点P到右准线的距离为(a²/c)-x.
[[3]]
由椭圆第二定义可知
PF2=e[(a²/c)-x]=a-ex.
[[4]]
结合题...
全部展开
可设左右焦点分别为F1, F2.
且设点P的横坐标为x,
[[1]]由椭圆第一定义可知
PF1+PF2=2a.
∴PF1=2a-PF2.
[[2]]
易知,点P到右准线的距离为(a²/c)-x.
[[3]]
由椭圆第二定义可知
PF2=e[(a²/c)-x]=a-ex.
[[4]]
结合题设可得
PF1=2a-PF2=2a-(a-ex)=a+ex=(a²/c)-x
即有a+ex=(a²/c)-x
该式两边乘以ac,可得
a²c+c²x=a³-acx
(a+c)cx=a²(a-c)
x=[a²(a-c)]/[(a+c)c]
易知,恒有x≤a
∴[a²(a-c)]/[(a+c)c]≤a
∴a²-ac≤c²+ac
(a-c)²≤2c²
a-c≤√2c
a≤(1+√2)c
e=c/a≥1/(1+√2)=√2-1
∴(e)min=√2-1
收起
设点P到右焦点的距离为d(a-c=
√2-1