直线3x+4y-5=0与x^2+y^2=4相交于M、N,O是坐标原点,求向量OM与向量ON的数量积直线在y轴的截距是5/4〈2,必两交点。能否用几何方法解:OM的模乘ON的模乘cosθ,θ怎么求
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/24 07:17:43
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直线3x+4y-5=0与x^2+y^2=4相交于M、N,O是坐标原点,求向量OM与向量ON的数量积直线在y轴的截距是5/4〈2,必两交点。能否用几何方法解:OM的模乘ON的模乘cosθ,θ怎么求
直线3x+4y-5=0与x^2+y^2=4相交于M、N,O是坐标原点,求向量OM与向量ON的数量积
直线在y轴的截距是5/4〈2,必两交点。能否用几何方法解:OM的模乘ON的模乘cosθ,θ怎么求
直线3x+4y-5=0与x^2+y^2=4相交于M、N,O是坐标原点,求向量OM与向量ON的数量积直线在y轴的截距是5/4〈2,必两交点。能否用几何方法解:OM的模乘ON的模乘cosθ,θ怎么求
联解求交点M、N:
3x+4y-5=0 (1)
X^2+Y^2=4 (2)
由(1)是得:y=(5-3x)/4.
将y 代入(2),得:x^2+[(5-3x)/4]^2=4.
x^2+(25-30x+9x^2)/16=4.
16x^2+25-30x+9x^2 -64=0.
25x^2-30x-39=0.
25(x-3/5)^2-9-39=0.
(x-3/5)^2=48/25.
x-3/5=±4√3/5,
x1=3/5+4√3/5;
x2=3/5-4√3/5.
将x1,x2代入y=(5-3x)/4式中,化简后,得:
y1=4/5-3√3/5;
y2=4/5+3√3/5.
∴得直线与圆的两个交点:M(3/5+4√3/5,4/5-3√3/5),N(3/5-4√3/5,4/5+3√3/5).
向量OM=(3/5+4√3/5,4/5-3√3/5),向量ON=(3/5-4√3/5,4/5+3√3/5).
向量OM.ON=((3/5+4√3/5)*(3/5-4√3/5)+(4/5-3√<<<3/5)*(4/5+3√3/5)).
=(3/5)^2-(4√3/5)^2+(4/5)^2-(3√3/5)^2.
=9/25-48/25+16/25-27/25.
=1-3.
=-2.
∴向量OM.向量ON=-2.
正因为直线3x+4y-5=0在坐标轴上的截距<2,才会与圆有两个交点M,N.
可以应用向量很容易求出OM与ON的夹角θ;
|向量OM|=√[(3/5+4√3/5)^2+(4/5-3√3/5)^2]=2;
|向量ON|=√[(3/5-4√3/5)^2+(4/5+3√3/5)^2]=2.【化简过程请你自己做一下】
由二向量的夹角公式,得:
cosθ=向量OM.向量ON/|OM||ON|.
=-2/2*2.
=-1/2.
∴θ=120°.
∵|OM|=|ON|,△MON为等腰三角形,再求出|MN|,也好求出θ,自己做吧.