作业帮已知椭圆C的两个焦点F1（-2根2,0）F2（2根2,0） (1)当直线1过F1与椭圆C交于MN两点,且MF2N的周长为12时求C的方程.（2）是否存在直线m过P点（0,2）点与椭圆C交于AB两点且以AB为直径的圆过原点,若存
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 16:10:36
已知椭圆C的两个焦点F1（-2根2,0）F2（2根2,0） (1)当直线1过F1与椭圆C交于MN两点,且MF2N的周长为12时求C的方程.（2）是否存在直线m过P点（0,2）点与椭圆C交于AB两点且以AB为直径的圆过原点,若存
已知椭圆C的两个焦点F1（-2根2,0）F2（2根2,0） (1)当直线1过F1与椭圆C交于MN两点,且MF2N的周长为12时
求C的方程.
（2）是否存在直线m过P点（0,2）点与椭圆C交于AB两点且以AB为直径的圆过原点,若存在,求出直线m的方程,若不存在说明理由.
已知椭圆C的两个焦点F1（-2根2,0）F2（2根2,0） (1)当直线1过F1与椭圆C交于MN两点,且MF2N的周长为12时求C的方程.（2）是否存在直线m过P点（0,2）点与椭圆C交于AB两点且以AB为直径的圆过原点,若存
1）可知 c=2√2；
三角形MF2N的周长 = |MN|+|MF2|+|NF2| = |MF1| + |MF2| + |NF1| + |NF2| = 2*a+2*a = 4*a = 12
可得 ,a = 3；
b = √(a^2-c^2)=√(9-8)=1;
C的方程为 x^2/a^2+y^2/b^2=1 即 x^2/9+y^2=1;
2）因为直线m过点P（0,2）,可设直线m为 y=kx+2；A(x1,y1),B(x2,y2);
联立直线方程和椭圆方程,消去y,可得
(9*k^2+1)*x^2+36*k*x+27=0;
于是有 x1+x2=-36k/(9*k^2+1); x1*x2=27/(9*k^2+1);
原点在以AB为直径的圆上,所以角AOB是直角,（直径所对的圆周角是直角）
所以 OA垂直OB；得到 x1*x2+y1*y2=0;
将 y1=k*x1+2 和 y2=k*x2+2 代入到上式并化简,可得
(k^2+1)*x1*x2+2*k*(x1+x2)+4=0;
代入x1*x2 和x1+x2;
得到9*k^2=31;
k=√31/3 或者 k=-√31/3
直线m为 y=√31/3 *x+2 或者 y=-√31/3 *x+2
一楼的做法很好