求(x^2+16)/√(x^2+4)的最小值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/25 06:07:55
![求(x^2+16)/√(x^2+4)的最小值](/uploads/image/z/7139709-45-9.jpg?t=%E6%B1%82%28x%5E2%2B16%29%2F%E2%88%9A%28x%5E2%2B4%29%E7%9A%84%E6%9C%80%E5%B0%8F%E5%80%BC)
求(x^2+16)/√(x^2+4)的最小值
求(x^2+16)/√(x^2+4)的最小值
求(x^2+16)/√(x^2+4)的最小值
令a=√(x²+4),则a≥2,且有
(x²+16)/√(x²+4)=(a²+12)/a=(√a)²+[√(12/a)]²-2√12+2√12
=(√a-√(12/a))^2+2√12
≥2√12
当a=√12时,即x=±2√2等号成立.
因此(x²+16)/√(x²+4)的最小值为2√12.
(x^2+16)/√(x^2+4)
=√(x^2+4)+12/√(x^2+4)
因为x+a/x在x∈(0,√a)上单调递减,在(√a,+无穷)上单调递增
因为x^2+4≥4,而√12<4
所以(x^2+16)/√(x^2+4)=√(x^2+4)+12/√(x^2+4)≥2+12/2=8 (x=0的时候取到等号),即最小值是8