设三角形ABC的三边BC=a,CA=b,AB=c,并设各边上中线依次为ma,mb,mc,求证a+b+c小于2【ma+mb+mc]

设三角形ABC的三边BC=a,CA=b,AB=c,并设各边上中线依次为ma,mb,mc,求证a+b+c小于2【ma+mb+mc]
设三角形ABC的三边BC=a,CA=b,AB=c,并设各边上中线依次为ma,mb,mc,求证a+b+c小于2【ma+mb+mc]

设三角形ABC的三边BC=a,CA=b,AB=c,并设各边上中线依次为ma,mb,mc,求证a+b+c小于2【ma+mb+mc]

已知AB=c,AC=b,BC=a,D,E,F各为AB、BC、AC中点

根据三角形两边之差小于于第三边,可得：

对于三角形ABF,有mb=BF>AB-AF, 对于三角形BCF,有mb=BF>BC-CF,

左边与左边相加,右边与右边相加,

可得：mb+mb> AB-AF +BC-CF,

不等式右边=AB+BC-(AF+CF)= AB+BC-AC=c+a-b,

即mb+mb> c+a-b式①

对于三角形ABE,有ma=AE>AB-BE, 对于三角形ACE,有ma=AE>AC-CE,

左边与左边相加,右边与右边相加,

可得：ma+ma> AB-BE +AC-CE, 

不等式右边=AB+AC-(BE+CE)= AB+AC-BC=c+ b - a,

即mb+mb> c+ b - a式②

对于三角形ACD,有mc=BF>AC-AD 对于三角形BCD,有mc=BF>BC-BD,

左边与左边相加,右边与右边相加,

可得：mc+mc> AC-AD +BC-BD, 

不等式右边=AC+BC-(AD+BD)= AC+BC-AB=b+ a - c,

即mb+mb>b+ a – c,式③

将式①②③的左边与左边相加,右边与右边相加,可得：

2(ma+mb+mc) > c+a-b+c+ b – a+ b+ a – c

即a+b+c<2(ma+mb+mc)

设BC、AC、AB边上的中点分别为D、E、F，则由题意得：
2ma=ma+ma>AB-BD+AC-CD=AB+AC-BC，同理可得
2mb>AB-BD+AC-CD=AB+BC-AC；
2mc>AB-BD+AC-CD=AC+BC-AB；
以上各式联立得：
a+b+c<2(ma+mb+mc)