已知函数f(x),g(x)都是定义在R上的奇函数,F(x)=f(x)+g(x),且F(x)在(0,+∞)上是减函数.(1)判断并证明F(x)在(-∞,0)上的单调性(2)若x≥0时,F(x)=-x(x+1),求函数F(x)的解析式
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/24 05:14:04
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已知函数f(x),g(x)都是定义在R上的奇函数,F(x)=f(x)+g(x),且F(x)在(0,+∞)上是减函数.(1)判断并证明F(x)在(-∞,0)上的单调性(2)若x≥0时,F(x)=-x(x+1),求函数F(x)的解析式
已知函数f(x),g(x)都是定义在R上的奇函数,F(x)=f(x)+g(x),且F(x)在(0,+∞)上是减函数.
(1)判断并证明F(x)在(-∞,0)上的单调性
(2)若x≥0时,F(x)=-x(x+1),求函数F(x)的解析式
已知函数f(x),g(x)都是定义在R上的奇函数,F(x)=f(x)+g(x),且F(x)在(0,+∞)上是减函数.(1)判断并证明F(x)在(-∞,0)上的单调性(2)若x≥0时,F(x)=-x(x+1),求函数F(x)的解析式
(1)由题意:F(-x)=f(-x)+g(-x)
=-f(x)-g(x)
=-[f(x)+g(x)]
所以F(x)也是奇函数,所以图像关于原点对称
即可知F(x)在(-∞,0)上为增函数
(2)由F(x)是奇函数可知当x0)
=0 (x=0)
=x(x+1) (x
(1)F(-X)=f(-x)+g(-x),而f(-x)=-f(x),g(-x)=-g(x),所以F(-X)=-(f(x)+g(x))=-F(X),所以F(X)也是奇函数,所以F(x)在(x<0)上单调递减
(2)F(x)是奇函数,x<=0,-x>=0,F(-x)=x(-x+1),而F(-x)=-F(x),所以F(x)=-x(-x+1),即x<=0时,F(x)=x(x-1)分段函数表示就行
(1)F(-x)=f(-x)+g(-x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x)
F(x)在R上奇函数
设x1>x2>0,则-x1<-x2<0
F(x)在(0,+∞)上是减函数,F(x1)
F(x)在(-∞,0)上是单调递减函数
(2)设x<0,则-x>0
f(-x)=-...
全部展开
(1)F(-x)=f(-x)+g(-x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x)
F(x)在R上奇函数
设x1>x2>0,则-x1<-x2<0
F(x)在(0,+∞)上是减函数,F(x1)
F(x)在(-∞,0)上是单调递减函数
(2)设x<0,则-x>0
f(-x)=-(-x)(-x+1)=x(1-x)
f(x)=-f(-x)=x(x-1)
所以当x<0时f(x)=x(x-1)
当x>=0时f(x)=-x(x+1)
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(1)证明:因为 f(x),g(x)都是定义在R上的奇函数
所以 F(-x)=f(-x)+g(-x)=-(f(x)+g(x))=-F(x)
又因为F(x)在(0,+∞)上是减函数
所以 F(x)在(-∞,0)上是减函数
(2)当x<0时 F(-x)=x(-x+1)
...
全部展开
(1)证明:因为 f(x),g(x)都是定义在R上的奇函数
所以 F(-x)=f(-x)+g(-x)=-(f(x)+g(x))=-F(x)
又因为F(x)在(0,+∞)上是减函数
所以 F(x)在(-∞,0)上是减函数
(2)当x<0时 F(-x)=x(-x+1)
又F(-x)=-F(x)
所以-F(x)=x(-x+1) (x<0)
即 F(x)=-x(-x+1)(x<0)
所以函数F(x)=x(x+1)(x≥0)
=-x(-x+1)(x<0)
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