设数列{an}的前n项和为Sn,若对于任意正整数n都有Sn=2an-3n (1)设bn=an+3 证明:{bn}是等比数列,并求出{an}的通项公式 (2)求数列{nan}的前n项和
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/23 14:30:46
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设数列{an}的前n项和为Sn,若对于任意正整数n都有Sn=2an-3n (1)设bn=an+3 证明:{bn}是等比数列,并求出{an}的通项公式 (2)求数列{nan}的前n项和
设数列{an}的前n项和为Sn,若对于任意正整数n都有Sn=2an-3n (1)设bn=an+3 证明:{bn}是等比数列,并求出{an}的通项公式
(2)求数列{nan}的前n项和
设数列{an}的前n项和为Sn,若对于任意正整数n都有Sn=2an-3n (1)设bn=an+3 证明:{bn}是等比数列,并求出{an}的通项公式 (2)求数列{nan}的前n项和
由Sn=2an-3n 得S(n-1)=2a(n-1)-3(n-1)
两式相减得 an=2an-2a(n-1)-3n+3(n-1)
化简得 an=2a(n-1)+3
(ps:由于bn=an+3,所以可以想到上面等式左右两边加3)
an+3=2a(n-1)+6 所以an+3=2[a(n-1)+3]
所以[an+3]/[a(n-1)+3]=2
即b(n+1)/bn=2
由Sn=2an-3n 得S1=2a1-3,故a1=3
所以b1=a1+3=6
所以bn为首项为6,公比为2的等比数列,即bn=6*2^(n-1)=3*2^n
所以an=bn-3=3*2^n-3
第二问:(典型的等差乘以等比数列求和,用错位相减)
设cn=nan,cn的前n项和为Tn
Tn=a1+2a2+3a3+……+(n-2)a(n-2)+(n-1)a(n-1)+nan
则2Tn= (a2-3)+2(a3-3)+……+ (n-2)[a(n-1)-3]+(n-1)(an-3)+2nan
[ps:因为an=3*2^n-3,所以2an=3*2^(n+1)-6=a(n+1)-3,用错位相减]
两式相减得-Tn=a1+a2+……+an-2nan+3[1-2^(n-1)]
所以 Tn=-Sn+2nan+3[2^(n-1)-1]
带入化简得 Tn=(6n-9/2)*2^n+3(n+1)
都是自己算的,中间难免有算错的地方,大概思路就是这样,可是我辛辛苦苦的自己打出来的呦,楼主看着办吧,哈哈