已知圆的方程为x2+y2-2(2m-1)x+2(m+1)y+5m2-2m-2=0 不论m取何值证明圆心都在同一直线L上证明平行L且与圆相交的直线在各圆上截得弦长相等
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/23 15:04:36
![已知圆的方程为x2+y2-2(2m-1)x+2(m+1)y+5m2-2m-2=0 不论m取何值证明圆心都在同一直线L上证明平行L且与圆相交的直线在各圆上截得弦长相等](/uploads/image/z/800911-55-1.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%9C%86%E7%9A%84%E6%96%B9%E7%A8%8B%E4%B8%BAx2%2By2-2%282m-1%29x%2B2%28m%2B1%29y%2B5m2-2m-2%3D0+%E4%B8%8D%E8%AE%BAm%E5%8F%96%E4%BD%95%E5%80%BC%E8%AF%81%E6%98%8E%E5%9C%86%E5%BF%83%E9%83%BD%E5%9C%A8%E5%90%8C%E4%B8%80%E7%9B%B4%E7%BA%BFL%E4%B8%8A%E8%AF%81%E6%98%8E%E5%B9%B3%E8%A1%8CL%E4%B8%94%E4%B8%8E%E5%9C%86%E7%9B%B8%E4%BA%A4%E7%9A%84%E7%9B%B4%E7%BA%BF%E5%9C%A8%E5%90%84%E5%9C%86%E4%B8%8A%E6%88%AA%E5%BE%97%E5%BC%A6%E9%95%BF%E7%9B%B8%E7%AD%89)
已知圆的方程为x2+y2-2(2m-1)x+2(m+1)y+5m2-2m-2=0 不论m取何值证明圆心都在同一直线L上证明平行L且与圆相交的直线在各圆上截得弦长相等
已知圆的方程为x2+y2-2(2m-1)x+2(m+1)y+5m2-2m-2=0 不论m取何值证明圆心都在同一直线L上
证明平行L且与圆相交的直线在各圆上截得弦长相等
已知圆的方程为x2+y2-2(2m-1)x+2(m+1)y+5m2-2m-2=0 不论m取何值证明圆心都在同一直线L上证明平行L且与圆相交的直线在各圆上截得弦长相等
1、
化简圆的方程
x^2+y^2-2(2m-1)x+2(m+1)y+5m^2-2m-2=0
x^2-2(2m-1)x+(2m-1)^2+y^2+2(m+1)y+(m+1)^2-(2m-1)^2-(m+1)^2+5m^2-2m-2=0
[x-(2m-1)]^2+(y+m+1)^2=4
所以圆心坐标为
x0=2m-1
y0=-m-1
满足x+2y+3=0组成一条直线方程.而且这些圆的半径为常数2
2、
实际直观上这个结论已经成立了,下面是代数证明过程.
平行于上述直线的方程可以设为x+2y+k=0
交点满足下方程组:
x+2y+k=0 ---> x=-k-2y
[x-(2m-1)]^2+(y+m+1)^2=4
将x=-k-2y代入圆的方程
(k+2y+2m-1)^2+(y+m+1)^2=4
设交点为(x1,y1),(x2,y2)
弦长公式
Sqrt[(y2-y1)^2+(x2-x1)^2]
=Sqrt[(y2+y1)^2-4y1y2+(x2+x1)^2-4x1x2]
运用韦达定理,得到的结果与m无关,所以该直线在各圆上截的的弦长相等.
证明: 式子x2+y2-2(2m-1)x+2(m+1)y+5m2-2m-2用配方法变形为:(x-2m+1)²+(y+m+1)²-4 所以:圆的方程为(x-2m+1)²+(y+m+1)²=4 圆心为(2m-1,-m-1) 设圆心在直线y=kx+b上,则将圆心坐标代入得:-m-1=k(2m-1)+b,即-m-1=2km-k+b 由于不论m取何值时圆心都在这条直线上 所以:-m=2km,-1=-k+b 解得:k=-1/2, b=-3/2 所以:直线L的方程为y=(-1/2)x-(3/2) 由于圆的半径是不变的,始终是2,只是圆心的位置在直线L上变化,即方程为x2+y2-2(2m-1)x+2(m+1)y+5m2-2m-2=0 的圆是一个等圆的集合,只是圆心在直线L上。如图 所以平行直线L的直线被这些圆所截得的弦的长度相等。