如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠DAB=90°,AD∥BC,AD⊥侧面PAB,△PAB是等边三角形,DA=AB=2,BC=12AD,E是线段AB的中点.(Ⅰ)求证:PE⊥CD;(Ⅱ)求四棱锥P-ABCD的体积;(Ⅲ)求PC与平面PDE所
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/15 04:35:00
![如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠DAB=90°,AD∥BC,AD⊥侧面PAB,△PAB是等边三角形,DA=AB=2,BC=12AD,E是线段AB的中点.(Ⅰ)求证:PE⊥CD;(Ⅱ)求四棱锥P-ABCD的体积;(Ⅲ)求PC与平面PDE所](/uploads/image/z/8647183-55-3.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E5%9B%9B%E6%A3%B1%E9%94%A5P-ABCD%E4%B8%AD%2C%E5%BA%95%E9%9D%A2ABCD%E6%98%AF%E7%9B%B4%E8%A7%92%E6%A2%AF%E5%BD%A2%2C%E2%88%A0DAB%3D90%C2%B0%2CAD%E2%88%A5BC%2CAD%E2%8A%A5%E4%BE%A7%E9%9D%A2PAB%2C%E2%96%B3PAB%E6%98%AF%E7%AD%89%E8%BE%B9%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2%2CDA%3DAB%3D2%2CBC%3D12AD%2CE%E6%98%AF%E7%BA%BF%E6%AE%B5AB%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%82%B9%EF%BC%8E%EF%BC%88%E2%85%A0%EF%BC%89%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9APE%E2%8A%A5CD%EF%BC%9B%EF%BC%88%E2%85%A1%EF%BC%89%E6%B1%82%E5%9B%9B%E6%A3%B1%E9%94%A5P-ABCD%E7%9A%84%E4%BD%93%E7%A7%AF%EF%BC%9B%EF%BC%88%E2%85%A2%EF%BC%89%E6%B1%82PC%E4%B8%8E%E5%B9%B3%E9%9D%A2PDE%E6%89%80)
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠DAB=90°,AD∥BC,AD⊥侧面PAB,△PAB是等边三角形,DA=AB=2,BC=12AD,E是线段AB的中点.(Ⅰ)求证:PE⊥CD;(Ⅱ)求四棱锥P-ABCD的体积;(Ⅲ)求PC与平面PDE所
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠DAB=90°,AD∥BC,AD⊥侧面PAB,△PAB是等边三角形,DA=AB=2,BC=12AD,E是线段AB的中点.
(Ⅰ)求证:PE⊥CD;
(Ⅱ)求四棱锥P-ABCD的体积;
(Ⅲ)求PC与平面PDE所成角的正弦值.
如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠DAB=90°,AD∥BC,AD⊥侧面PAB,△PAB是等边三角形,DA=AB=2,BC=12AD,E是线段AB的中点.(Ⅰ)求证:PE⊥CD;(Ⅱ)求四棱锥P-ABCD的体积;(Ⅲ)求PC与平面PDE所
题目中的条件应该是BC=1/2AD吧,不然图形就失真了.
1、证明:∵AD⊥侧面PAB∴AD⊥PE
又由△PAB是等边三角形,E是线段AB的中点 得AB⊥PE
而AB∩AD=A,AB、AD∈平面ABCD ∴PE⊥平面ABCD ∴PE⊥CD
2、体积V=1/3S*H=1/3*(1+2)*2/2*(3)^(1/2)=3^(1/2)
3、∵PE⊥平面ABCD PE∈平面PED ∴平面PED⊥平面ABCD
过C作CF⊥ED于F,连接PF
由已知可以证明CF⊥平面PED CF⊥PF 即∠CPF为PC与平面PDE所成角
∴sin∠CPF=CF/PC 注意到PC=CD=5^(1/2) 故△CPF与△CDF是全等的
即∠CPF=∠CDF 这就转化成在梯形内求解
设∠CDF=θ,∠ADF=β,∠CDA=α 即θ=α-β,
sinθ=sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ=2/5^(1/2)*2/5^(1/2)-1/5^(1/2)*1/5^(1/2)=3/5