已知函数f(x)=ax^2+bx+3a+b为偶函数,其定义域为[a-1,2a],求f(x)的值域
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/18 16:38:21
![已知函数f(x)=ax^2+bx+3a+b为偶函数,其定义域为[a-1,2a],求f(x)的值域](/uploads/image/z/8658473-41-3.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E5%87%BD%E6%95%B0f%28x%29%3Dax%5E2%2Bbx%2B3a%2Bb%E4%B8%BA%E5%81%B6%E5%87%BD%E6%95%B0%2C%E5%85%B6%E5%AE%9A%E4%B9%89%E5%9F%9F%E4%B8%BA%5Ba-1%2C2a%5D%2C%E6%B1%82f%28x%29%E7%9A%84%E5%80%BC%E5%9F%9F)
已知函数f(x)=ax^2+bx+3a+b为偶函数,其定义域为[a-1,2a],求f(x)的值域
已知函数f(x)=ax^2+bx+3a+b为偶函数,其定义域为[a-1,2a],求f(x)的值域
已知函数f(x)=ax^2+bx+3a+b为偶函数,其定义域为[a-1,2a],求f(x)的值域
∵函数f(x)为偶函数
∴定义域关于0对称
∴a-1+2a=0
解得:
a=1/3
∴f(x)=1/3*x^2+bx+1+b
∵函数为偶函数
∴f(-x)=f(x)
即:1/3*x^2-bx+1+b=1/3*x^2+bx+1+b
对应系数相等
∴-b=b且1+b=1+b
解得:
b=0
∴f(x)=(x^2/3)+1
定义域[-2/3,2/3]
∴0≤x²≤4/9
∴值域[1,13/9]
因为f(x)为偶函数
所以f(x)中所有x的奇次项前的系数均为0
所以b=0
所以f(x)=ax^2+3a
当a=0时,f(x)=0,值域一定为{0}
当a不等于0时,f(x)为二次函数
所以f(x)的对称轴为x=0
当a-1<=0且2a>=0,即a∈(0,1]时,
若a-1的绝对值大于等于2a,即a∈[0,1/3]时...
全部展开
因为f(x)为偶函数
所以f(x)中所有x的奇次项前的系数均为0
所以b=0
所以f(x)=ax^2+3a
当a=0时,f(x)=0,值域一定为{0}
当a不等于0时,f(x)为二次函数
所以f(x)的对称轴为x=0
当a-1<=0且2a>=0,即a∈(0,1]时,
若a-1的绝对值大于等于2a,即a∈[0,1/3]时,f(x)的值域为[0,a^3-2*a^2+4a]
若a-1的绝对值小于2a,即a∈(1/3,1]时,f(x)的值域为[0,2a^3+3a]
当2a<0时,即a<0时,f(x)的值域为[2a^3+3a,a^3-2*a^2+4a]
当a-1>0时,即a>1时,f(x)的值域为[a^3-2*a^2+4a,2a^3+3a]
收起