在△ABC中,BA=BC,∠BAC=α,M是AC的中点,P是线段BM上的动点,将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ.(1)若α=60°且点P与点M重合(如图1),线段CQ的延长线交射线BM于点D,请补全图形,并写出∠CDB
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/19 13:15:00
![在△ABC中,BA=BC,∠BAC=α,M是AC的中点,P是线段BM上的动点,将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ.(1)若α=60°且点P与点M重合(如图1),线段CQ的延长线交射线BM于点D,请补全图形,并写出∠CDB](/uploads/image/z/8853702-6-2.jpg?t=%E5%9C%A8%E2%96%B3ABC%E4%B8%AD%2CBA%EF%BC%9DBC%2C%E2%88%A0BAC%EF%BC%9D%CE%B1%2CM%E6%98%AFAC%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%82%B9%2CP%E6%98%AF%E7%BA%BF%E6%AE%B5BM%E4%B8%8A%E7%9A%84%E5%8A%A8%E7%82%B9%2C%E5%B0%86%E7%BA%BF%E6%AE%B5PA%E7%BB%95%E7%82%B9P%E9%A1%BA%E6%97%B6%E9%92%88%E6%97%8B%E8%BD%AC2%CE%B1%E5%BE%97%E5%88%B0%E7%BA%BF%E6%AE%B5PQ.%EF%BC%881%EF%BC%89%E8%8B%A5%CE%B1%EF%BC%9D60%C2%B0%E4%B8%94%E7%82%B9P%E4%B8%8E%E7%82%B9M%E9%87%8D%E5%90%88%EF%BC%88%E5%A6%82%E5%9B%BE1%EF%BC%89%2C%E7%BA%BF%E6%AE%B5CQ%E7%9A%84%E5%BB%B6%E9%95%BF%E7%BA%BF%E4%BA%A4%E5%B0%84%E7%BA%BFBM%E4%BA%8E%E7%82%B9D%2C%E8%AF%B7%E8%A1%A5%E5%85%A8%E5%9B%BE%E5%BD%A2%2C%E5%B9%B6%E5%86%99%E5%87%BA%E2%88%A0CDB)
在△ABC中,BA=BC,∠BAC=α,M是AC的中点,P是线段BM上的动点,将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ.(1)若α=60°且点P与点M重合(如图1),线段CQ的延长线交射线BM于点D,请补全图形,并写出∠CDB
在△ABC中,BA=BC,∠BAC=α,M是AC的中点,P是线段BM上的动点,将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ.
(1)若α=60°且点P与点M重合(如图1),线段CQ的延长线交射线BM于点D,请补全图形,并写出∠CDB的度数;
(2)在图2中,点P不与点B、M重合,线段CQ的延长线于射线BM交于点D,猜想∠CDB的大小(用含α的代数式表示),并加以证明;
(3)对于适当大小的α,当点P在线段BM上运动到某一位置(不与点B、M重合)时,能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D,且PQ=DQ,请直接写出α的范围.
在△ABC中,BA=BC,∠BAC=α,M是AC的中点,P是线段BM上的动点,将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ.(1)若α=60°且点P与点M重合(如图1),线段CQ的延长线交射线BM于点D,请补全图形,并写出∠CDB
(1)∵BA=BC,∠BAC=60°,M是AC的中点,
∴BM⊥AC,AM=MC,
∵将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ,
∴AM=MQ,∠AMQ=120°,
∴CM=MQ,∠CMQ=60°,
∴△CMQ是等边三角形,
∴∠ACQ=60°,
∴∠CDB=30°;
(2)如图2,连接PC,AD,
∵AB=BC,M是AC的中点,
∴BM⊥AC,
∴AD=CD,AP=PC,PD=PD,
在△APD与△CPD中,
AD=CD
PD=PD
PA=PC
∴△APD≌△CPD(SSS),
∴∠ADB=∠CDB,∠PAD=∠PCD,
又∵PQ=PA,
∴PQ=PC,∠ADC=2∠1,∠4=∠PCQ=∠PAD,
∴∠PAD+∠PQD=∠4+∠PQD=180°,
∴∠APQ+∠ADC=360°-(∠PAD+∠PQD)=180°,
∴∠ADC=180°-∠APQ=180°-2α,
∴2∠CDB=180°-2α,
∴∠CDB=90°-α;
(3)如图1,延长BM,CQ交于点D,连接AD,
∵∠CDB=90°-α,且PQ=QD,
∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°-2α,
∵点P不与点B,M重合,
∴∠BAD>∠PAD>∠MAD,
∵点P在线段BM上运动,∠BAD最大为2α,∠MAD最大等于α,
∴2α>180°-2α>α,
∴45°<α<60°.