若不等式x²+2(1+k)x+3+k＜0,对x∈（1,3）恒成立,求k的取值范围

若不等式x²+2(1+k)x+3+k＜0,对x∈（1,3）恒成立,求k的取值范围
若不等式x²+2(1+k)x+3+k＜0,对x∈（1,3）恒成立,求k的取值范围

若不等式x²+2(1+k)x+3+k＜0,对x∈（1,3）恒成立,求k的取值范围

x²+2(1+k)x+3+k＜0
设：f(x)=x²+2(1+k)x+3+k
可见,f(x)的图像是开口向上的抛物线
显然：当x位于f(x)与x轴的两交点职内时,有：f(x)＜0
令：f(x)=0,即：x²+2(1+k)x+3+k=0
x²+2(1+k)x+(1+k)²-(1+k)²+3+k=0
(x+1+k)²=k²+k-2
解得：x=-k-1±√(k²+k-2)=-k-1±√[(k+2)(k-1)]
有：(k+2)(k-1)≥0
解得：k≥1、k≤-2
另,依已知,有：
-k-1-√(k²+k-2)=1……………………(1)
-k-1+√(k²+k-2)=3……………………(2)
由(1),有：-k-2=√(k²+k-2)
(-k-2)²=k²+k-2
k²+4k+4=k²+k-2
3k=-6
k=-2
由(2),有：√(k²+k-2)=k+4
k²+k-2=k²+8k+16
7k=-18
k=-18/7
因此,所求k的取值范围是：k∈(-18/7,-2).

令f(x)=x^2+2(1+k)x+3+k
∵f(x)的图像是开口向上的抛物线
∴只需满足下面三个条件:与x轴有3个交点，1和3落在交点区间之内。
△>0 ------------(1)
f(1)<=0 ------------(2)
f(3)<=0 ------------(3)
由(1)式解得k<-2,k>1
由(2)式解得k<=-...

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令f(x)=x^2+2(1+k)x+3+k
∵f(x)的图像是开口向上的抛物线
∴只需满足下面三个条件:与x轴有3个交点，1和3落在交点区间之内。
△>0 ------------(1)
f(1)<=0 ------------(2)
f(3)<=0 ------------(3)
由(1)式解得k<-2,k>1
由(2)式解得k<=-2,
由(3)式解得k<=-18/7
综上所述得到k的取值范围k<=-18/7

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若不等式x²+2(1+k)x+3+k＜0，对x∈（1，3）恒成立，求k的取值范围
设f(x)=x²+2(1+k)x+3+k，要使f(x)<0对x∈（1，3）恒成立，只需：
f(1)=1+2(1+k)+3+k=3k+6≦0，即k≦-2...................①
且f(3)=9+6(1+k)+3+k=7k+18≦0，即k≦-18/7.........

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若不等式x²+2(1+k)x+3+k＜0，对x∈（1，3）恒成立，求k的取值范围
设f(x)=x²+2(1+k)x+3+k，要使f(x)<0对x∈（1，3）恒成立，只需：
f(1)=1+2(1+k)+3+k=3k+6≦0，即k≦-2...................①
且f(3)=9+6(1+k)+3+k=7k+18≦0，即k≦-18/7..........②
①∩②={k∣k≦-18/7，k∈R}就是k的取值范围。

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