AB垂直于△BCD所在的平面,AB=√10,AD=√17,BC:BD=3:4,当△BCD的面积最大时点A到直线CD的距离为多少?打错一个是AC=√10
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/23 18:44:25
![AB垂直于△BCD所在的平面,AB=√10,AD=√17,BC:BD=3:4,当△BCD的面积最大时点A到直线CD的距离为多少?打错一个是AC=√10](/uploads/image/z/10253499-51-9.jpg?t=AB%E5%9E%82%E7%9B%B4%E4%BA%8E%E2%96%B3BCD%E6%89%80%E5%9C%A8%E7%9A%84%E5%B9%B3%E9%9D%A2%2CAB%EF%BC%9D%E2%88%9A10%2CAD%EF%BC%9D%E2%88%9A17%2CBC%3ABD%EF%BC%9D3%3A4%2C%E5%BD%93%E2%96%B3BCD%E7%9A%84%E9%9D%A2%E7%A7%AF%E6%9C%80%E5%A4%A7%E6%97%B6%E7%82%B9A%E5%88%B0%E7%9B%B4%E7%BA%BFCD%E7%9A%84%E8%B7%9D%E7%A6%BB%E4%B8%BA%E5%A4%9A%E5%B0%91%3F%E6%89%93%E9%94%99%E4%B8%80%E4%B8%AA%E6%98%AFAC%EF%BC%9D%E2%88%9A10)
AB垂直于△BCD所在的平面,AB=√10,AD=√17,BC:BD=3:4,当△BCD的面积最大时点A到直线CD的距离为多少?打错一个是AC=√10
AB垂直于△BCD所在的平面,AB=√10,AD=√17,BC:BD=3:4,当△BCD的面积最大时
点A到直线CD的距离为多少?
打错一个是AC=√10
AB垂直于△BCD所在的平面,AB=√10,AD=√17,BC:BD=3:4,当△BCD的面积最大时点A到直线CD的距离为多少?打错一个是AC=√10
∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥BC、AB⊥BD.
∵BC∶BD=3∶4,∴可设BC=3x、BD=4x.
由勾股定理,有:AB^2+BC^2=AC^2、AB^2+BD^2=AD^2,两式相减,消去AB,得:
BC^2-BD^2=AC^2-AD^2,∴9x^2-16x^2=10-17,∴x^2=1,∴x=1,∴BC=3、BD=4.
∵△BCD的面积=(1/2)BC×BDsin∠CBD=(1/2)×3×4sin∠CBD.
∴当sin∠CBD有最大值时,△BCD的面积才有最大值.
显然,sin∠CBD在∠CBD=90°时有最大值.
∴此时由勾股定理,有:CD=√(BC^2+BD^2)=√(9+16)=5.
过A作AE⊥CD交CD于E.
∵AB⊥平面BCD,∴BE是AE在平面BCD上的射影,由三垂线定理的逆定理,有:BE⊥CD.
∴由三角形面积计算公式,有:△BCD的面积=(1/2)BC×BD=(1/2)CD×BE,
∴BE=BC×BD/CD=3×4/5=12/5.
∵AB⊥平面BCD,∴AB⊥BE,∴由勾股定理,有:
AE=√(AB^2+BE^2)=√(1+144/25)=13/5.
∴当△BCD的面积最大时,点A到CD的距离为:13/5.
这道题的关键是确定△BCD何时面积最大,不知道原题是否给出图像,需要正确画出图形以有助于思考,这也是立体几何解题要点之一. 由图像可知,△BCD是△ACD在平面BCD上的投影,由于AC,AD长给定,故BC,BD确定.在这种情况下,在角CBD为直角时△BCD的面积最大时取得最大值.做BE垂直CD,连结AE,AE长即是要求的线段. 不妨设BC=3a,BD=4a,则CD=5a,BE=2.4a,CE=1.8a,DE=3.2a.a=1, AE=2.6