将10拆为若干个自然数之和,再求出这些加数的乘积,不同的拆分法,乘积也不同,问这个乘积最大可能是多少

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/03 02:21:21

将10拆为若干个自然数之和,再求出这些加数的乘积,不同的拆分法,乘积也不同,问这个乘积最大可能是多少
将10拆为若干个自然数之和,再求出这些加数的乘积,不同的拆分法,乘积也不同,问这个乘积最大可能是多少

将10拆为若干个自然数之和,再求出这些加数的乘积,不同的拆分法,乘积也不同,问这个乘积最大可能是多少
不论拆分成多少个,最终都可以把若干个先合并在一起,看成 2 个.
设 10 = a + b
100 = (a+b)^2
100 = a^2 + b^2 + 2ab
因为 (a-b)^2 ≥ 0 恒成立,
所以 2ab ≤ a^2 + b^2.且在 a=b 时,2ab 取最大值.
因此由 100 = a^2 + b^2 + 2ab 得到
100 ≥ 4ab
ab ≤ 25
当 a = b = 5 时,ab 取最大值 25.
现在的问题化为
5 = x+y
xy 的最大值是多少.（x、y是整数）
因为 5 = 1 + 4 = 2+3 = 0+5
所以显然 xy 的最大值是 2*3 = 6
因此把10化成 10 = 2+3+2+3 时,各加数的乘积取最大值 36.

36
但说不出为什么.

3^2比2^3大，所以将10尽量分成多的3，但不要有1
10＝3+3+2+2+2
3*3*2*2*2＝72

elusory008 - 总监八级
答的相对好一点

36。把10都分为3和2(因为其他的10以内的数字要么可以用这两个乘出来,要么比这两个数小,要么就太大,乘不了大点的数),那么就可以推定由2个3,2个2,乘积的结果就是36。

由a.b<=[(a+b)/2]^2，当a=b时，a.b最大值，所以优先分10为5+5；
对于5，易知应分为2+3，所以10=2+3+2+3，
于是乘积最大是36