数学分析不等式证明证:对每个自然数n成立:(1+1/n)^n>(∑1/k!)-e/(2n) .其中∑是对k从0到n求和.似乎要将不等式左边展开,再用辅助不等式:(1-1/2)(1-1/3)...(1-1/k)>1-1/2-1/3-...-1/k .我不得要领,数学
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/23 16:36:46
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数学分析不等式证明证:对每个自然数n成立:(1+1/n)^n>(∑1/k!)-e/(2n) .其中∑是对k从0到n求和.似乎要将不等式左边展开,再用辅助不等式:(1-1/2)(1-1/3)...(1-1/k)>1-1/2-1/3-...-1/k .我不得要领,数学
数学分析不等式证明
证:对每个自然数n成立:(1+1/n)^n>(∑1/k!)-e/(2n) .
其中∑是对k从0到n求和.似乎要将不等式左边展开,再用辅助不等式:(1-1/2)(1-1/3)...(1-1/k)>1-1/2-1/3-...-1/k .我不得要领,
数学归纳法不妨试试,不过那个字母e有些烦人,e=2.718281828...归纳法倒是很难,电灯剑客说的很正确,我后来这样做了,我先证明了:xln(1+1/x)>1+ln(1-1/(2x)),x≥1。记y=1/x,则0<y≤1,记f(y)=ln(1+y)-y+y^2/2,求导知f严格单增,f(y)>f(0)=0,故有ln(1+1/x)>1/x-1/(2x^2)>0,xln(1+1/x)>1-1/(2x)。又由ln(1-1/(2x))的幂级数展开知(显然x≥1时级数收敛到ln(1-1/(2x))):ln(1-1/(2x))<-1/(2x)-1/8x^2,故1+ln(1-1/(2x))<1-1/(2x)-1/8x^2<1-1/(2x)<xln(1+1/x),故(1+1/x)^x>e(1-1/(2x)),x≥1,从而:(1+1/n)^n>e(1-1/(2x))>(∑1/k!)-e/(2n) 证必。证明中我没有用到中值定理...
数学分析不等式证明证:对每个自然数n成立:(1+1/n)^n>(∑1/k!)-e/(2n) .其中∑是对k从0到n求和.似乎要将不等式左边展开,再用辅助不等式:(1-1/2)(1-1/3)...(1-1/k)>1-1/2-1/3-...-1/k .我不得要领,数学
提示一下,左边用Taylor中值定理来估计e^{1/n},右边直接放大到e(1-1/(2n)).
用数学归纳法应该差不多