已知方程组 3x+y=244x+ay=18 有正整数的解,求整数a的解

已知方程组 3x+y=244x+ay=18 有正整数的解,求整数a的解
已知方程组 3x+y=24
4x+ay=18 有正整数的解,求整数a的解

已知方程组 3x+y=244x+ay=18 有正整数的解,求整数a的解
(1)×4得
12x+4y=96
(2)×3得
12x+3ay=54
相减得
(4-3a)x=42
x=42/(4-3a)>0
故
4-3a=1、2、3、6、7、14、21、42
由于a是整数
解得
a=1,-1,-13

3x+y=24
x=(24-y)/3
x>0 (24-y)/3>0 y<24
4x+ay=18
a=(18-4x)/y=[18-(24-y)/3]/y=(y+30)/(3y)
a为整数，令(y+30)/(3y)=k
y>0 y+30>0 3y>0 (y+30)/(3y)>0 k>0
y+30=3ky
y=...

全部展开

3x+y=24
x=(24-y)/3
x>0 (24-y)/3>0 y<24
4x+ay=18
a=(18-4x)/y=[18-(24-y)/3]/y=(y+30)/(3y)
a为整数，令(y+30)/(3y)=k
y>0 y+30>0 3y>0 (y+30)/(3y)>0 k>0
y+30=3ky
y=30/(3k-1)
要y为正整数，k只能是1或2
k=1时，y=15 a=(y+30)/(3y)=45/45=1
k=2时，y=6 a=(y+30)/(3y)=36/18=2
综上，得a=1或a=2

收起

3x+y=24
4x+ay=18
即
12x+4y=96
12x+3ay=54
即
(4-3a)y = 96-54 = 42
即
y = 42/(4-3a)

推得42能被4-3a整除
又4-3a = (3-3a) + 1，是个被3除余1的正数
因此4-3a是42的被3除余1的正因数：1、7
...

全部展开

3x+y=24
4x+ay=18
即
12x+4y=96
12x+3ay=54
即
(4-3a)y = 96-54 = 42
即
y = 42/(4-3a)

推得42能被4-3a整除
又4-3a = (3-3a) + 1，是个被3除余1的正数
因此4-3a是42的被3除余1的正因数：1、7

因此有
4-3a = 1 解得a=1，Y=42，X=-6 （为负、舍弃）
4-3a = 7 解得a=-1，Y=6，X=6
综上，符合题意的有
A = -1
X = Y = 6

收起

由(1)*4-(2)*3可得，
(4-3a)*y=42,
y=42/(4-3a),
联立方程(1)可得,
x=8-14/(4-3a)
要使x,y为正整数，必须使
14/(4-3a)=1或2或7，
解得a=-3/10或-1或2/3，
又因为a是整数，
所以a=-1.

楼上思路很好。
不过解出的a值还要考虑是否满足x、y都是正整数。
改：
(1)×4得
12x+4y=96
(2)×3得
12x+3ay=54
得
(4-3a)y=42
y=42/(4-3a）
得4-3a=1、2、3、6、7、14、21、42
由于a是整数
解得
a=1,-1
检验得a=-1

(1)×4得
12x+4y=96
(2)×3得
12x+3ay=54
相减得
(4-3a)y=42
∴y=42/(4-3a)
代入上式得：x=(18-24a)/(4-3a)=8-14/(4-3a)
∵x,y是正整数，
∴4-3a是42和14的约数，
4-3a=1、2、3、6、7、14
由于a是整数，且x﹥0
解得
a=,-1,

由题意，建立直角坐标系，只取第一象限并在第一象限做出 3x+y=24 的图像，考虑到有正整数解，所以，去掉端点坐标（0,24）和（8,0），剩下可行解坐标（1,21）；(2,18)；（3,15）；（4,12）；（5,9）；（6,6)；（7,3）。将可行解的坐标带入 4x+ay=18 中，可算出a取整数的值为：-1 可行解坐标(6,6)。故满足题目要求的整数a的解只有 a=-1。...

全部展开

由题意，建立直角坐标系，只取第一象限并在第一象限做出 3x+y=24 的图像，考虑到有正整数解，所以，去掉端点坐标（0,24）和（8,0），剩下可行解坐标（1,21）；(2,18)；（3,15）；（4,12）；（5,9）；（6,6)；（7,3）。将可行解的坐标带入 4x+ay=18 中，可算出a取整数的值为：-1 可行解坐标(6,6)。故满足题目要求的整数a的解只有 a=-1。

收起