△ABC中,AB=AC,P为BC上的任意一点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,BD为AC上的高,求证：PE+PF=BD

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/05 03:18:21

△ABC中,AB=AC,P为BC上的任意一点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,BD为AC上的高,求证：PE+PF=BD
△ABC中,AB=AC,P为BC上的任意一点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,BD为AC上的高,求证：PE+PF=BD

△ABC中,AB=AC,P为BC上的任意一点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,BD为AC上的高,求证：PE+PF=BD
这是一道常见的几何证明问题,难度不大,但很经典,证明方法也很多.
证法一：
连接AP
则△ABC的面积＝AB*PE/2＋AC*PF/2＝(PE＋PF)*AC/2
而△ABC的面积＝BD*AC/2
所以：PE＋PF＝BD
即：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于腰上的高
证法二：
作PG⊥BD,垂足为G
因为PG⊥BD,PF⊥AC,BD⊥AC
所以四边形PGDF是矩形
所以GD＝PF
因为AB＝AC
所以∠EBP＝∠C
因为GP//AC
所以∠GPB＝∠C
所以∠EBP＝∠GPB
又因为BP＝BP
所以△BPE≌△PBG（ASA）
所以PE＝BG
所以PE＋PF＝BG＋GD＝BD
证法三：
提示：
过B作直线PF的垂线,垂足为M
运用全等三角形同样可证
另外运用面积方法和三角函数也能进行证明
江苏吴云超解答　供参考!

连接AP，
三角形ABC可分成三角形ABP和三角形APc。
三角形ABP的面积：AB×EP×1/2
三角形ACP的面积：AC×PF×1/2
∴AB×EP×1/2 + AC×PF×1/2 =AC×BD×1/2
∴1/2AB（PE+PF)=AC×BD×1/2
∴PE+PF=BD

利用面积法:
连接A,P
S⊿ABC=1/2AC*BD
S⊿ABC=S⊿APB+S⊿APC
=1/2AC*PF+1/2AB*PE
=1/2AC*(PF+PE) [因为AB=AC]
因为S⊿ABC=S⊿ABC
所以 BD=PE+PF